Локационный треугольник В. Лаунхардта

Важным этапом развития теории размещения производств было открытие немецким ученым Вильгельмом Лаунхардтом (Carl Wilhelm Friedrich Launhardt) метода нахождения пункта оптимального размещения отдельного промышленного предприятия относительно источников сырья и рынка сбыта продукции. Это открытие он описал в статье «Практика эффективного размещения предприятий» («The Determination of the Practical Location of an Industrial Enterprise»), которая была опубликована в 1882 г.

Рассмотренную им задачу принято называть «проблемой 3-х точек».

Пусть требуется найти пункт размещения нового металлургического завода. Известны пункт добычи железной руды - точка A пункт добычи угля - точка В и пункт потребления металла - точка С. Транспортный тариф равен t (на 1 т/км). Расходы руды на выплавку 1т металла составляют: а; расход угля — b. Известны также расстояния между пунктами (стороны локационного треугольника): АС = S ₁; ВС = S ₂; АВ = S ₃.

Возможным пунктом размещения металлургического завода может быть в принципе каждая из трех точек размещения источников руды, угля и потребителя металла. В этих случаях суммарные затраты, связанные с перевозкой всех необходимых грузов для потребления 1т металла, будут равны:

(b S ₃ + S ₁) t — при размещении завода в точке А;

(a S ₃ + S ₂) t — при размещении завода в точке В;

(a S ₁ + S ₂) t — при размещении завода в точке С.

Наилучшим пунктом размещения завода из рассмотренных трех будет тот, в котором транспортные затраты минимальны. Однако искомый пункт размещения может не совпадать ни с одной из вершин локационного треугольника, а находиться внутри него в некоторой точке М.

Расстояние от внутренней точки М до вершин треугольника составляют: AM = r ₁ ВМ = r ₂ СМ = r _3. Тогда транспортные издержки при размещении металлургического завода в точке М будут равны Т = (ar ₁ + br ₂ ++ r ₃) t. Выполнение требования Т → min дает точку оптимального местоположения предприятия.

Данная задача имеет геометрическое и механическое решения.

Геометрический метод нахождения точки размещения в том, что на каждой из сторон локационного треугольника строится треугольник, подобный весовому (стороны которого относятся как а: b:1). Затем вокруг построенных таким образом треугольников описываются окружности, точка пересечения которых и является точкой минимума транспортных издержек. Этот метод применим для случая, когда соотношения расстояний S ₁, S _2, S ₃ соответствуют свойству треугольника (одна сторона меньше суммы двух других). В противном случае (например когда S ₁ > S ₂ + S ₃) точка минимума транспортных затрат будет совпадать с одной из вершин локационного треугольника.

Механическое решение рассматриваемой задачи основывается на аналогии с методом нахождения точки равновесия сил. При этом веса руды, угля, металла выступают в качестве сил, с которыми притягивают производство соответствующие вершины локационного треугольника. Искомая точка является точкой равновесия трех связанных нитей, проходящих через вершины локационного треугольника. При этом к концам нитей подвешены грузы (Q_a,Q_b,Q_c),пропорциональные a, b, с. Весовой треугольник В. Лаунхардта — одна из первых в экономической науке физических моделей, используемых для решения теоретических и практических задач.

Изложенный метод нахождения оптимального размещения предприятия применим и для большего числа точек (видов сырья) при условии, что они образуют выпуклый многоугольник.

Лаунхардт сделал попытку распространить полученное им решение проблемы трех точек на «n» точек, но эта процедура была позднее признана некорректной. Вплоть до наших дней единственным общим методом решения «проблемы n точек» служит механическая модель, хотя на практике эта проблема обычно решается компьютерами, которые разрабатывают соответствующие алгоритмы.

Особенности модели Лаунхардта:

- в модели не учитываются различия в ценах земельных участков, трудовых и других ресурсов;

- рассматриваются только 2 источника сырья и материалов и 1 рынок сбыта (потребитель);

- решающий фактор размещения – минимум общих транспортных издержек на единицу производимой продукции;

- применимость модели ограничивается случаем линейных функций транспортных издержек, когда транспортные издержки на 1 милю (км) доставки груза строго пропорциональны весу перевозимых товаров.

Wilhelm Launhardt. «The Determination of the Practical Location of an Industrial Enterprise» (1882)
А, В – пункты пр-ва сырья; С – потребитель (рынок сбыта); М – точка возможного размещения производственного предприятия.	а, b – объем поступлений от поставщиков А и В; r 1, r 2, r 3 – искомые расстояния от поставщиков А, В и центра потребления С до предприятия М р – транспортный тариф.

/ А.И. Гаврилов. Региональная экономика и управление. М. Юнити. 2002 г.- 239 с./