Метод декомпозиции транспортных задач

Применим метод декомпозиции к Т-задаче:

(1) (2) "Х_ij³0.(3)

Использование этого метода целесообразно, если m << n или m>>n. Решаются идентично. Отличаются распределением условий между основной и вспомогательной задачами. Рассмотрим случай, когда m << n. Тогда основная задача формируется по условиям ПО. Множество D ₀ описывается ограничениями (1), а D₁ – условиями (2) и (3). Множество D₁ представляет собой выпуклый многогранник (ограниченность вытекает из условий). Поэтому, любую точку в D₁ можно представить в виде линейной комбинации его вершин:

S Z_v =1; " Z_v ³ 0, где X^v_ij – координаты v -ой вершины. Введем обозначения: (6) (7)Тогда основная задача запишется в виде (4) " Z_v ³ 0. Для сбалансированной задачи условие (4) выполняется автоматически. откуда для сбалансированной задачи следует При решении основной задачи условие (4) из модели исключается. Для определения статуса текущего базисного решения основной задачи необходимы относительные оценки. Нахождение оценок связано с решением вспомогательной задачи. Для построения вспомогательной задачи сделаем ряд преобразований: D _v = p^TP _v - s_v= = Так как основная задача решается на минимум, то оптимальному статусу соответствуют неположительные оценки. Поэтому нужно искать максимальную оценку. Если она окажется не > 0, то все оценки неположительны и признак оптимальности выполнился. В противном случае необходимо продолжить решение основной задачи. Задача: Вместо поиска максимума на дискретном множестве вершин перейдем к эквивалентной задаче поиска на всем непрерывном множестве D₁: (5) " X _ij ³ 0. – вспомогат. задача. В оптимальном решении этой задачи Вспомогательная задача включает группу условий (5). Равенства (5) - независимые и вспомогательная задача распадается на n простейших независимых задач, каждая из которых имеет всего одно условие: " X _ij ³ 0. Критерий вспомогательной задачи равен сумме критериев этих задач: Оптимальное решение задачи, как линейной, находится на границе. При этом только одна переменная не равна нулю (базис имеет размерность 1). Поэтому ее решение состоит в определении максимального коэффициета в критерии. Пусть максимум достигается на индексе i*, то есть Тогда имеем: X^v_i*j = b_j, X^v_ij =0, " i, i ¹ i*, и максимальная оценка определится как . Если L ^* _всп £ 0, то полож. оценок нет, тек решение основной задачи будет оптимальным.

При L^*_всп > 0 начинается новая итерация:

1. пo (6) и (7) находим Р _v и s_v;

2. вычисляем эл-ты напр. столбца как коэффициенты разложения вектора Р _v по текущему базису: a _v = P ^-1_B P _v;

3. проводим симплекс-преобразование основной задачи, в результате которого получаем новое решение и новую обратную матрицу; 4. вычисляем p ^T= s ^T_B P ^-1_B;

5. решаем вспомогательную задачу: вычисляем разности , находим оптимальные решения n задач и максимальную оценку основной задачи.

Из рассмотренной вычислительной схемы следует, что эффективность метода тем выше, чем сильнее неравенство m << n или m>>n.

bi ai

Пример. Решим транспортную задачу с двумя ПО и четырьмя ПН: Числа в ячейках таблицы - затраты на перевозки C_ij. Исходная модель задачи: L = SS C_ijX_ij àmin

Координирующая задача формируется по условиям:

" Z_v ³0

sv	Баз. .	P 0	P n +1	P n +2
M	Zn+ 1
M	Zn+ 2
pТ	M	M

Для построения начального решения вводим искусственные переменные:

bj
p 1 -C 1 j	M -2	M -5	M -1	M -4
p 2 -C 2 j	M -1	M -3	M -4	M -2
v =1	X 121=8	X 122=4	X 113=10	X 124=8

и модифицируем критерий Составим нач. таблицу координирующей задачи:

В последней строке значения p_i получены умножением первого столбца на столбцы P _n+i. Решение вспомогательной задачи представляем в таблице:

sv	Баз	P0	P n +1	P n +2	P1	q
M	Zn+ 1
M	Zn+ 2
pТ	M	M

при j =1 максимальная разность равна M -1, поэтому X¹₂₁ = b₁ =8. Клетки с максимальными разностями выделены цветом фона. Критерий: [(M -1)*8 + (M -3)*4 + (M -1)*10 + (M -2)*8] > 0.

sv	Баз.	P0	P n +1	P n +2
	Z 1		0,1
M	Zn+ 2		-2
pТ	-2 M +4,6	M

Так как признак оптимальности не выполняется, переходим к итерациям. Находим s_1: s ₁=1*8 + 3*4 + 1*10 + 2*8 = 46. Вычисляем компоненты вектора Р ₁:

Р ₁₁= X¹ ₁₃=10; P ₂₁= X¹ ₂₁+ X¹ _{2 2} + X¹ ₂₄= 8+4+8 = 20.

bj
p 1 - C1j	2,6-2 M	-0,4-2 M	3,6-2 M	0,6-2 M
p 2 -C 2 j	M -1	M -3	M -4	M -2
v =2	X 221=8	X 222=4	X 223=10	X 224=8

. Его разложение по нач. базису: .

Добавляем столбец P ₁с элементами a ₁ в начальную таблицу в качестве напр.столбца: Взяв 1-ю строку за направляющую и выполнив симплекс-преобразование, получаем новое решение основной задачи:

Для выяснения статуса этого решения снова находим максимальную оценку основной задачи, решая вспомогательную задачу: L²_всп>0, то есть решение основной задачи не является оптимальным. Вычисляем

sv	Баз	P0	Pn+1	Pn+2
	Z 1		0,1
	Z 2		-1/15	1/30
pТ	-7/15	38/15

коэффициент критерия при Z ₂: s ₂=1*8 + 3*4 + 4*10 + 2*8 = 8+12+40+16 = 76. Определяем компоненты вектора Р ₂: Р ₁₂=0, P₂₂ = 8+4+10+8 = 30

, и добавляем его к последней

sv	Баз.	P0	P n +1	P n +2	P2	q
	Z 1		0,1			-
M	Zn+2		-2
pТ	-2 M +4,6	M

таблице основной задачи: В результате симплекс-преобразования получаем: Соотв. вспомогательная задача:

bj
p 1 -C 1 j	-37/15	-82/15	-22/15	-67/15
p 2 -C 2 j	23/15	-7/15	-22/15	8/15
v =3	X 321=8	X 322=4	X 313=10	X 324=8

Критерий L ³ _всп =(23/15)*8–(7/15)*4–(22/15)*10+(8/15)*8=0. Оптимальное решение осн. задачи: Z^* ₁=1, Z^* ₂=0, L^* = 46_*1 + 76_*0 = 46.

X^* ₂₁ = 8, X^* ₂₂ = 4, X^* ₁₃ = 10, X^* ₂₄ = 8.