Уравнение среднеквадратичной скорости молекулы

Уравнение среднеквадратичной скорости молекулы легко выводится из основного уравнения МКТ для одного моля газа.

,

, где — молярная масса газа

Отсюда окончательно

 

 

20.

Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Менделеева — Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

,

где

· — давление,

· — молярный объём,

· — универсальная газовая постоянная

· — абсолютная температура,К.

Так как , где — количество вещества, а , где — масса, — молярная масса, уравнение состояния можно записать:

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.

Уравнение, выведенное Клапейроном содержало некую неуниверсальную газовую постоянную , значение которой необходимо было измерять для каждого газа:

Менделеев же обнаружил, что прямо пропорциональна , коэффициент пропорциональности он назвал универсальной газовой постоянной

 

 

Универса́льная га́зовая постоя́нная (также — постоянная Менделеева)— термин, впервые введённый в употребление Д. Менделеевым в 1874 г. Численно равна работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 К.

 

Входит в уравнение состояния идеального газа .

В Международной системе единиц (СИ) универсальная газовая постоянная равна^{[3] Дж}⁄_{(моль∙К)}.

В системе СГС универсальная газовая постоянная равна ^Эрг⁄_{(моль∙К)}.

Удельная газовая постоянная (R/M) для сухого воздуха: ^Дж⁄_(кг∙К)

 

 

21. Средняя квадратичная скорость молекул. Постoяннaя Больцмана и кинетическая энергия одной молекулы. Число соударений между молекулами. Средняя длина свободного пробега молекул.

Среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы газа можно найти как отношение суммарной кинетической энергии молекул , содержащихся в одном моле газа, к постоянной Авогадро , численно равной количеству этих молекул:

 

.

(2.28)

Или, если ввести новую постоянную:

 

,

(2.29)

которая в честь австрийского физика-теоретика Людвига Больцмана (1844 - 1906) получила название постоянной Больцмана, то получаем следующее выражение:

 

.

(2.30)

С помощью формулы (2.29) уравнение Клапейрона-Менделеева (2.2) может быть преобразовано к виду:

 

,

(2.31)

где суммарное число молекул газа равно: . Деление этого выражения на объем газа позволяет получить уравнение для давления, часто называемое основным уравнением молекулярно-кинетической теории:

 

,

(2.32)

или с использованием формулы (2.30)

 

.

(2.33)

Здесь: - концентрация молекул газа.

Считая все молекулы газа одинаковыми и имеющими массу , определим с помощью формулы (2.30) средний квадрат скорости молекул газа

 

(2.34)

и их среднюю квадратичную скорость

 

.

(2.35)

В соответствие с формулами (2.8) и (2.29) постоянную Больцмана можно представить в виде:

 

.

(2.36)

Тогда выражение (2.35) для средней квадратичной скорости можно записать в форме:

 

.

уть, который пройдет молекула за одну секунду, равен длине цилиндра . Умножим объём цилиндра на число молекул в единице объёма n, получим среднее число столкновений в одну секунду:

3.2.1

На самом деле, все молекулы движутся (и в сторону, и навстречу друг другу), поэтому число соударений определяется средней скоростью движения молекул относительно друг друга.

По закону сложения случайных величин

(3.2.1)

А так как средняя длина свободного пробега то получим:

22. Распределение скоростей молекул по Максвеллу. Наивероятнейшая скорость.

Распределение по вектору импульса

Представленное ниже очень сильно отличается от вывода, предложенного Джеймсом Клерком Максвеллом и позже описанного с меньшим количеством предположений Людвигом Больцманом.

В случае идеального газа, состоящего из невзаимодействующих атомов в основном состоянии, вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы следующим образом

,

где — квадрат вектора импульса .

Мы можем поэтому переписать уравнение (1) как:

,

где — статсумма, соответствующая знаменателю в уравнении (1), — молекулярная масса газа, — термодинамическая температура, и — постоянная Больцмана. Это распределение пропорционально функции плотности вероятности нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонентов импульса. Таким образом:

Постоянная нормировки C, определяется из условия, в соответствии с которым вероятность того, что молекулы имеют какой-либо вообще импульс, должна быть равна единице. Поэтому интеграл уравнения (4) по всем значениям и должен быть равен единице. Можно показать, что:

.

Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1 необходимо, чтобы

.

Подставляя выражение (6) в уравнение (4) и используя тот факт, что , мы получим

.

Распределение по вектору скорости

Учитывая, что плотность распределения по скоростям пропорциональна плотности распределения по импульсам:

и используя мы получим:

,

что является распределением Максвелла по скоростям. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе около скорости равна

Распределение по абсолютной величине импульса

Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса

Распределение по энергии

Наконец, используя соотношения и , мы получаем распределение по кинетической энергии:

 

 

25 Теплоёмкость тела (обычно обозначается латинской буквой C) — физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплотыδ Q, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры δ T:

Единица измерения теплоёмкости в системе СИ — Дж/К.

 

Удельной теплоёмкостью называется теплоёмкость, отнесённая к единичному количеству вещества. Количество вещества может быть измерено в килограммах, кубических метрах и молях. В зависимости от того, к какой количественной единице относится теплоёмкость, различают массовую, объёмную и молярную теплоёмкость.

Массовая теплоёмкость (С) — это количество теплоты, которое необходимо подвести к единице массы вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры. В СИ измеряется в джоулях на килограмм на кельвин (Дж·кг⁻¹·К⁻¹).

Объёмная теплоёмкость (С′;) — это количество теплоты, которое необходимо подвести к единице объёма вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры. В СИ измеряется в джоулях на кубический метр на кельвин (Дж·м⁻³·К⁻¹).

Молярная теплоёмкость (С _μ) — это количество теплоты, которое необходимо подвести к 1 молю вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры. В СИ измеряется в джоулях на моль на кельвин (Дж/(моль·К)).

Теплоёмкость для различных состояний вещества

Понятие теплоёмкости определено как для веществ в различных агрегатных состояниях (твёрдых тел, жидкостей, газов), так и для ансамблей частиц и квазичастиц (в физике металлов, например, говорят о теплоёмкости электронного газа).

Для примера, в молекулярно-кинетической теории газов показывается, что молярная теплоёмкость идеального газа с i степенями свободы при постоянном объёме (для одного моля идеального газа) равна:

где R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная.

А при постоянном давлении

Удельные теплоёмкости многих веществ приведены в справочниках обычно для процесса при постоянном давлении. К примеру, удельная теплоёмкость жидкой воды при нормальных условиях — 4200 Дж/(кг·К); льда — 2100 Дж/(кг·К).

 

Закон Джоуля

При постоянном токе в цепи электрическое поле совершает работу, в точности равную работе сил трения (сопротивления). Последняя полностью переходит в тепловую энергию проводника. Приравняв количество выделяемого в проводнике тепла Q работе поля по перемещению зарядов в цепи (It ^. U), получим закон Джоуля (закон Джоуля-Ленца):

Q = IUt

Работа в единицу времени называется мощностью электрического тока:

P = IU

Закон Джоуля — Ленца — физический закон, дающий количественную оценку теплового действия электрического тока. Установлен в 1841 году Джеймсом Джоулем и независимо от него в 1842 году Эмилием Ленцем^[1].

В словесной формулировке звучит следующим образом^[2]

Мощность тепла, выделяемого в единице объёма среды при протекании электрического тока, пропорциональна произведению плотности электрического тока на величину напряженности электрического поля

Математически может быть выражен в следующей форме:

где — мощность выделения тепла в единице объёма, — плотность электрического тока, — напряжённость электрического поля, σ; — проводимость среды.

Закон также может быть сформулирован в интегральной форме для случая протекания токов в тонких проводах^[3]:

Количество теплоты, выделяемое в единицу времени в рассматриваемом участке цепи, пропорционально произведению квадрата силы тока на этом участке исопротивления участка

В математической форме этот закон имеет вид

где dQ — количество теплоты, выделяемое за промежуток времени dt, I — сила тока, R — сопротивление, Q — полное количество теплоты, выделенное за промежуток времени от t₁ до t₂. В случае постоянных силы тока и сопротивления:

 

 

Закон Джоуля-Коппа описывает теплоёмкость сложных (т. е. состоящих из нескольких химических элементов) кристаллических тел. Основан на законе Дюлонга-Пти. Каждый атом в молекуле имеет три колебательных степени свободы, и он обладает энергией . Соответственно, молекула из n атомов обладает в n раз большей энергией:

Молярная теплоёмкость вещества равна:

,

то есть она в n раз больше теплоёмкости кристалла с одноатомными молекулами. Иными словами, молярная теплоёмкость вещества равна сумме теплоёмкостей составляющих его химических элементов. Важно отметить, что закон Джоуля-Коппа выполняется даже для кристаллов, содержащих в своей структуре не подчиняющиеся закону Дюлонга-Пти химические элементы.

26 Обратимые и необратимые процессы, пути изменения состояния термодинамической системы. Процесс называют обратимым, если он допускает возвращение рассматриваемой системы из конечного состояния в исходное через ту же последовательность промежуточных состояний, что и в прямом процессе, но проходимую в обратном порядке. При этом в исходное состояние возвращается не только система, но и среда. Обратимый процесс возможен, если и в системе, и в окружающей среде он протекает равновесно. При этом предполагается, что равновесие существует между отдельными частями рассматриваемой системы и на границе с окружающей средой. Обратимый процесс - идеализированный случай, достижимый лишь при бесконечно медленном изменении термодинамических параметров. Скорость установления равновесия должна быть больше, чем скорость рассматриваемого процесса. Если невозможно найти способ вернуть и систему, и тела в окружающей среде в исходное состояние, процесс изменения состояния системы называют необратимым.

Необратимые процессы могут протекать самопроизвольно только в одном направлении; таковы диффузия,теплопроводность, вязкое течение и другое. Для химической реакции применяют понятия термодинамической и кинетической обратимости, которые совпадают только в непосредственной близости к состоянию равновесия. Р-ция А + В С + D наз. кинетически обратимой или двусторонней, если в данных условиях продукты С и D могут реагировать друг с другом с образованием исходных веществ А и В. При этом скорости прямой и обратной реакций, соотв. , где и -константы скорости, [А], [В], [С], [D]- текущиеконцентрации (активности), с течением времени становятся равными и наступает химическое равновесие, в котором -константа равновесия, зависящая от температуры. Кинетически необратимыми (односторонними) являются обычно такие реакции, в ходе которых хотя бы один из продуктов удаляется из зоны реакции (выпадает в осадок, улетучивается или выделяется в виде малодиссоциированного соединения), а также реакции, сопровождающиеся выделением большого кол-ва тепла.

На практике нередко встречаются системы, находящиеся в частичном равновесии, т.е. в равновесии по отношению к определенного рода процессам, тогда как в целом система неравновесна. Например, образец закаленной стали обладает пространственной неоднородностью и является системой, неравновесной по отношению к диффузионным процессам, однако в этом образце могут происходить равновесные циклы механической деформации, поскольку времена релаксации диффузии и деформации в твердых телах отличаются на десятки порядков. Следовательно, процессы с относительно большим временем релаксации являются кинетически заторможенными и могут не приниматься во внимание при термодинамич. анализе более быстрых процессов.

Необратимые процессы сопровождаются диссипативными эффектами, сущностью которых является производство (генерирование) энтропии в системе в результате протекания рассматриваемого процесса. Простейшее выражение закона диссипации имеет вид:

где средняя температура, d_iS- производство энтропии, - т. наз. нескомпенсированная теплота Клаузиуса (теплота диссипации).

Обратимые процессы, будучи идеализированными, не сопровождаются диссипативными эффектами. Микроскопическая теория обратимых и необратимых процессов развивается в статистической термодинамике. Системы, в которых протекают необратимые процессы, изучает термодинамика необратимых процессов.