Студопедия — Числовые характеристики дискретных случайных величин
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Числовые характеристики дискретных случайных величин






Определение. Математическим ожиданием (средним значением) M X дискретной случайной величины X называют сумму произведений значений xi случайной величины и вероятностей pi = P{ Х = xi }, с которыми случайная величина принимает эти значения: . При этом, если множество возможных значений случайной величины X счетно, предполагается, что

т.е. ряд, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины X не существует.

Определение. Дисперсией D Х случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее среднего значения, т.е.

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле

Нетрудно видеть, что дисперсия D X имеет размерность квадрата размерности случайной величины X. Для практических же целей удобно иметь величину, характеризующую разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, размерность которой совпадает с размерностью X. В качестве такой величины естественно использовать , которую называют средним квадратичным отклонением случайной величины X (иногда также стандартом, или стандартным отклонением).

Определение. k -тым начальным моментом (обычно опускают слово „начальный") mk дискретной случайной величины X называют математическое ожидание от Xk: Определение. k -тым центральным моментом дискретной случайной величины X называют математическое ожидание от k -той степени центрированной случайной величины: Момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием, центральный момент первого порядка равен нулю, центральный момент второго порядка является дисперсией. Отметим также, что в теоретических изысканиях рассматривают моменты не обязательно целого порядка k. Мода случайной величины дискретного типа определяется как такое возможное значение хт, для которого Таким образом, мода случайной величины дискретного типа есть ее наиболее вероятное значение в случае, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение)или иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Пример 1. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, распределенной по биномиальному закону (число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р):

Можно посчитать по-другому. Представим число успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли в виде где Хi − число успехов в i -м испытании. Нетрудно видеть, что , Значит, в силу свойства 3 . Учитывая, что случайные величины Хi являются независимыми, в силу свойства 4 дисперсии получаем .

Пример 2. Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона. Тогда

Пример 3. Пусть случайная величина X имеет геометрическое распределение:

Определение. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F (x), значение которой в точке х равно вероятности события { X < x }, т.е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых :

F (x) = P{ X < x }

Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее х.

Теорема. Функция распределения обладает следующими свойствами:

1) ;

2) F (x 1) < F (x 2) при x 1 < x 2 (т.е. F (x) − неубывающая функция);

3) , ;

4) ;

5) F (x) = F (x − 0), где (т.е. F (x) − непрерывная слева функция).

Доказательство. 1) Поскольку значение функции распределения в любой точке х является вероятностью, то из свойств вероятности (см. лекция 1) вытекает утверждение 1. 2) Если x 1 < x 2, то событие { X < x 1} включено в событие { X < x 2} и, согласно свойству 3 вероятности, P{ X < x 1} < P{ X < x 2}, т.е. в соответствии с определением выполнено утверждение 2. 3) Пусть x 1,..., xn,... − любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +∞. Событие { X < +∞}, с одной стороны, является достоверным, а с другой стороны, представляет собой объединение событий { X < xn }. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утверждении 3. Аналогично доказывается и первое равенство. 4) Событие { X < x 2} при x 1 < x 2 представляет собой объединение двух непересекающихся событий: { X < x 1} − случайная величина X приняла значение, меньшее x 1, и − случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [ x 1, x 2). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4. 5) Наконец, пусть x 1,..., xn,... − любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к х. Событие { X < х } является объединением событий { X < хn }. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5.

Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функцию распределения F (x). Пусть X − дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения x 1, x 2,..., хn расположены в порядке возрастания. Тогда для всех хx 1 событие { X < x } является невозможным и поэтому в соответствии с определением F (x) = 0. Если x 1 < хх 2, то событие { X < х }состоит из тех и только тех элементарных исходов ω,для которых Х (ω) = x 1, и, следовательно, F (x) = p. Аналогично при x 2 < хх 3 событие { X < х } состоит из элементарных исходов ω, для которых либо Х (ω) = х 1, либо Х (ω) = х 2, т.е. { X < x } = { X = x 1} + { X = x 2},а следовательно, F (x) = p 1 + p 2 и т.д. Наконец, при х > хn событие { X < х } достоверно и F (х) = 1.

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке (−∞, x 1] значение 0, на промежутках (xi, xi + 1], 1 ≤ i < n, − значение p 1 +... + pi и на промежутке (хn, +∞) − значение 1.







Дата добавления: 2015-03-11; просмотров: 438. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Деятельность сестер милосердия общин Красного Креста ярко проявилась в период Тритоны – интервалы, в которых содержится три тона. К тритонам относятся увеличенная кварта (ув.4) и уменьшенная квинта (ум.5). Их можно построить на ступенях натурального и гармонического мажора и минора.  ...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние...

Опухоли яичников в детском и подростковом возрасте Опухоли яичников занимают первое место в структуре опухолей половой системы у девочек и встречаются в возрасте 10 – 16 лет и в период полового созревания...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия