Мода, медиана, эксцесс

13. Законы распределения дискретных случайных величин: биномиальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое.

Биномиальное распределение. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р (вероятность ненаступления q=1-p).

Биномиальным распределением дискретной случайной величины Х называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли

Распределение Пуассона. Если число испытаний вероятность, при этом сохраняет постоянное значение, то для вычисления вероятностей в схеме Бернулли используется асимптотическая формула Пуассона.

Для биномиального распределения справедливы следующие утверждения:

Для распределения Пуассона с параметром справедливы утверждения:

Геометрическое распределение. Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р (вероятность ненаступления q=1-p). Испытания заканчиваются, как только наступит событие А.

Вероятность того, чтособытие Апоявилось в к -ом испытании (в предшествующих

(к-1) испытаниях оно не появилось)

 

 

14. Законы распределения непрерывных случайных величин: равномерное, показательное, нормальное. Распределения, связанные с нормальным: «хи-квадрат», Стьюдента, Фишера.

Равномерное распределение. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение:

-постоянная положительная величина.

Показательное распределение. Показательным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, плотность которого имеет вид:

 

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое задается функцией плотности вида:

Нормальное распределение определяется двумя параметрами и, вероятностный смысл которых таков: есть математическое ожидание, а - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Распределение («хи-квадрат»). распределена по закону с степенями свободы.

Распределение Стьюдента (t - распределение). Пусть Z -нормально распределенная случайная величина, причем математическое ожидание Z равно нулю, среднее квадратическое отклонение равно единице. Пусть V – независимая от Z случайная величина, распределенная по закону с k степенями свободы.

Тогда величина имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы.

 

Распределение Фишера (F - распределение). Пусть U и V -независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы Тогда величина имеет распределение Фишера со степенями свободы.

 

 

Нормальное распределение и его свойства. Правило трех сигм. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Асимметрия и эксцесс нормального распределения.

Стандартным нормальным (нормированным) называют нормальное распределение с параметрами

Плотность стандартного нормального распределения имеет вид:

Функция распределения нормированного распределения:

 

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормальная кривая имеет симметричный «колоколообразный» вид.

Свойства нормального распределения.

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью ОХ.

3.Ось ОХ служит горизонтальной асимптотой графика.

4.При функция имеет максимум, равный

5. График функции симметричен относительно прямой

8. Вероятность попадания нормальной случайной величины Х в произвольный интервал равна

«Правило трех сигм»: вероятность того, что отклонение по абсолютной величине меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

 

16. Системы случайных величин. Функция распределения и плотность распределения двумерной случайной величины. Коррелированность и зависимость случайных величин. Коэффициент корреляции. Корреляционный момент. Уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов.

Упорядоченная совокупность случайных величин, рассматриваемых совместно, называется n-мерной случайной величиной или системой случайных величин.

Двумерную случайную величину геометрически можно интерпретировать как случайную точку на плоскости. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Корреляционным моментом (ковариацией) случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадр отклонений этих величин:

Две случайные величины X и Yназываются коррелированными, если их коэффициент корреляции (или корреляционный момент отличен от нуля); X и Y называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю.

 

17. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона.