Методы прогнозирования. Аналитическое прогнозирование. Метод экстраполяционных полиномов. Метод регрессионного анализаОбщие сведения о прогнозировании Термин прогноз происходит от греческого слова "prognosis", что означает предвидение, предсказание о развитии чего-либо, основанное на определенных даны, напр., прогноз состояния технического объекта. Точность прогноза зависит от того, какой закон используется и насколько правильно и точно он осознан. Прогнозирование — составление прогноза развития, становления, распространения чего-либо, например, надежности на основании изучения тщательно отобранных данных. При решении задачи прогнозирования находят применение два понятия: интерполяция (лат. interpolate — изменение), означающее определение промежуточных значений функции по некоторым известным ее значениям, экстраполяция (лат. extra+polire — сверх+гладкий), характеризующее определение значений функции за пределами интервала, где известны её значения. В основе прогнозирования времени безотказной работы ОД лежит модель выработки ресурса при различных режимах эксплуатации, вид которой в основном определяется характером эксплуатационного нагружения. Выполнить достоверное прогнозирование можно только в том случае, когда известны условия, в которых ОД будет применяться. При этом под условиями понимаются: режимы использования, характер нагрузки, внешние факторы (температура, влажность и т.п.). Чем больше физических процессов, являющихся причинами деградации объекта, тем сложнее характер изменения работоспособности, тем труднее осуществить точное прогнозирование. При решении этой задачи имеем дело со случайными процессами, представляющими изменения случайной величины при изменении неслучайного параметра. Случайными величинами являются значения диагностических признаков, а неслучайным параметром — время. Прогнозирование возможно, если в случайном процессе, характеризующем изменение параметра, можно выделить тренд (англ. trend — тенденция, уклон), т. е. принципиальной основой прогнозирования служит предположение о существовании единых закономерностей, определяющих износ или старение. Прогнозирование подразделяется по назначению: — на индивидуальное (для конкретного объекта) — групповое (для партии однотипных объектов), по времени прогнозирования: — на локальное (время прогноза незначительное) — глобальное (до потери работоспособности). Задача прогнозирования изменения состояния объекта может быть решена методами экстраполяции или классификации. При экстраполяции реализуется принцип переноса на будущее тенденций прошлого. При этом изменение состояния ОД определяется значениями детерминированных или вероятностных характеристик состояния объекта на основе данных, получаемых на участке наблюдения. Процедура прогнозирования включает анализ результатов наблюдения, построение аналитического выражения, связывающего результаты наблюдения (интерполяцию) и, соответственно, экстраполяцию с помощью полученного выражения. Погрешности прогнозирования при использовании метода экстраполяции складываются из погрешностей при измерении результатов наблюдения, погрешностей, допускаемых при построении прогнозирующего выражения, и наконец, погрешности, возникающей из-за условий вне области наблюдения. При классификации необходимо обнаружить общие черты в различных объектах, их систематизировать и отнести к классу известных. В этом случае приходится решить две задачи: во-первых, построить множество классов, которые характеризуются определенной совокупностью признаков и соответствуют набору значений диагностических параметров конкретного объекта; во-вторых, оценить признаки и по полученным результатам отнести объект диагностирования к тому или иному классу. При решении первой задачи требуется обработать большой объем статистических данных, полученных в период эксплуатации объектов, или выполнить специальные эксперименты. Возможность формирования классов во многом определяется удачным выбором набора диагностических параметров. Эти параметры должны достаточно точно характеризовать процессы, приводящие к потере работоспособности объекта, и их оценка с требуемой точностью не должна представлять больших трудностей. Успех в решении второй задачи во многом определяется искусством распознавания, т.е. отнесением ОД по результатам оценки к известному классу, характеризуемому определенной тенденцией изменения состояния ОД с течением времени. В зависимости от используемого математического аппарата различают три вида прогнозирования: 1) аналитическое, основанное на степенных рядах и уравнениях регрессии; 2) вероятностное, основанное на теории вероятности; 3) статистическая классификация, основанная на теории распознавания образов. Решение задачи прогнозирования для конкретного ОД позволяет: — выявить узлы (блоки) объекта, работоспособность которых существенно изменится в ближайшее время; — обосновать количество запасных блоков или узлов перед очередным использованием и объём запасных частей на весь период эксплуатации объекта; — определить сроки проведения профилактических работ, направленных на обеспечение работоспособности объекта. Аналитическое прогнозирование Методы экстраполяции, используемые для определения значения прогнозируемой переменной, называются аналитическими или методами аналитического прогнозирования. При постановке задачи прогнозирования считается, что работоспособность объекта определяется одним параметром ξ. В этом случае прогнозирование работоспособности объекта диагностирования рассматривается как прогнозирование изменения функции ξ(t), значения которой изменяются дискретно или непрерывно в интервале времени T1 = [t0, t1]. В результате имеются значения этой функции ξ0, ξ1, … ξi, … ξn на интервале T1 (рис. 8.4.). Необходимо по известным значениям ξi определить значения функции ξ(t): ξn+1, … ξn+j, … ξn+m в будущие моменты времени t n+1, … t n+j, … t n+m T2 или узнать, через какое время t n+j T2 значение ξn+j достигнет допустимого уровня ξДОП. Рис. 8.4 – Динамика изменения функции ξ(t) во времени
Поставленная задача может быть решена методом экстраполяционных полиномов и регрессионного анализа. а) Метод экстраполяционных полиномов. Идеальным случаем решения задачи является адекватное описание изменения функции ξ(t)каким-либо аналитическим выражением. Ввиду сложности нахождения таких выражений по дискретным точкам ξi целесообразно определить наилучшую структуру аналитического выражения, а при прогнозировании конкретной функции ξ(t) изменять базовые элементы, входящие в это выражение. В интервале T1 по известным значениям ξi необходимо найти такую функцию F (t), которая с заданной точностью описывала бы процесс изменения состояния ОД, т. е. выполнить интерполяцию. В общем случае можно использовать многочлен вида , где аl – неизвестные коэффициенты; φl (t)– известные функции простейшего вида. Получить многочлен F (t)значит определить коэффициенты аl. Целесообразно использовать в качестве функций φl (t)функции, имеющие наиболее простую структуру. Тогда будем иметь базовый полином в виде: К этому виду могут быть сведены многие степенные выражения, которые различаются способом вычисления аl. Для выполнения точного прогнозирования следует воспользоваться более сложной экстраполяционной формулой и использовать результаты не двух, а более измерений. При прогнозировании изменения состояния по одному обобщенному параметру могут быть использованы экстраполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Ввиду того, что коэффициенты экстраполяционных полиномов не зависят от значения прогнозируемого параметра, они могут быть заранее рассчитаны и сведены в специальные таблицы, что упрощает процесс прогнозирования, так как сокращается объем вычислительных работ и облегчается автоматизация прогнозирования. На практике обычно ограничиваются полиномами 1-й и 2-й степеней, поскольку скорость изменения состояния не превышает скорость реагирования полиномов. Реальные процессы протекают медленно. Точность прогноза можно повышать, если прогнозировать только на один шаг с последующим включением полученного значения в область известных значений Т 1. При этом каждое прогнозирование (на один шаг) начинается из новой точки,получаемой смещением процесса на один шаг (t 0, t 1). Количество измерений и время прогнозирования влияет на точность прогноза: чем больше n, тем точнее прогноз, так как удается более точно описать (интерполировать) процесс изменения параметра в области Т 1. Чем больше время, на которое осуществляется прогнозирование TПР, тем меньше точность, так как в области Т 2могут быть учтены не все факторы. Минимальное количество требуемых измерений связано со степенью r полинома следующим образом: п = r + 1. На практике для приемлемой точности прогноза п увеличивается в 3...5 раз. Таким образом, использование экстраполяционных полиномов для аналитического прогнозирования предполагает: 1) выбор оптимального выражения F (t)с учетом тенденции изменения параметра в области T1; 2) определение коэффициентов аl для получения точного прогноза; 3) экстраполяцию F (t) на область Т 2и определение значения параметра в требуемый (прогнозируемый) момент времени; оценивание точности прогноза.
б) Метод регрессионного анализа. Он основывается на использовании уравнения регрессии вида: где y – величина, характер изменения которой необходимо определить; β0 – постоянная величина, βi – коэффициенты; x i – параметры, влияющие на прогнозируемую величину; ε – случайная погрешность. Зависимость переменной у от х носит линейный характер. Модель изменения диагностического параметра ξ во времени на основе регрессионного уравнения имеет вид: ξ = ξ0 + t /σ; где ξ0 – начальное значение параметра; σ – коэффициент регрессии, определяющий наклон кривой. Время работы объекта диагностирования до отказа t отк будет определяться допустимым значением диагностического параметра: t отк = (ξДОП – ξ0)∙σ. Исходной информацией для прогнозирования являются значения диагностических параметров ξij для N объектов в моменты времени t j, где i = 1,2… N, j = 1,2 … n i. По измеренным значениям, используя метод регрессивного анализа, вычисляются значения: , Для прогнозирования времени безотказной работы объекта необходимо знать допустимые значения диагностических параметров ξДОП. Если ξДОП неизвестно, то оно может быть определено следующим образом. По найденным σi и ξ0i вычисляются средние значения:
Учитывая полученные результаты σ и ξ0 можно определить математическое ожидание времени отказа: M (t отк) = (ξДОП – ξ0)∙σ, откуда Полученный результат есть предельно допустимое значение диагностического параметра. Для i -го объекта прогноз времени отказа может определяться следующим выражением:
Если запас работоспособности объекта определять выражением: δ = ξДОП – ξ0, а остаточный запас работоспособности: δ0 = ξДОП – ξ1, то для линейной модели изменения диагностических параметров, время безотказной работы для i -ого объекта может быть найдено с помощью зависимостей:
Если имеется статистика по наблюдениям, прогнозирование можно осуществить следующим образом. По результатам измерений устанавливают аппроксимирующий полином оптимальной степени достоверности, называемый трендом. Линейная форма тренда имеет вид: где ξi, t i – текущие значения диагностического параметра и времени; – средние значения диагностического параметра и времени; а 1 – аппроксимирующий коэффициент. Параметры тренда по данным N наблюдений определяют соотношением: где – математическое ожидание параметра х. Время безотказной работы определяется выражением: t б.р = t γ – t H где t γ – продолжительность достижения предельного состояния при гамма-процентном ресурсе элементов, t H – продолжительность работы элемента к началу прогнозирования. Доверительные границы прогноза значения диагностического параметра могут быть найдены из следующего соотношения: где t (p) – коэффициент Стьюдента для N -2 степеней свободы, σξ – среднеквадратичное отклонение диагностического параметра. Среднеквадратичное отклонение диагностического параметра определяется:
где – среднеквадратичное отклонение реальных и прогнозируемых значений диагностического параметра, δi – отклонение фактического значения от вычисленного по уравнению регрессии.
|