Вероятностное прогнозирование

Задачи вероятностного прогнозирования сводятся к определению вероятности невыхода (выхода) прогнозируемого процесса за установ­ленные границы.

При этом математическая задача вероятностного прогнозирования формулируется следующим образом. Для группы однотипных ОД из­вестны значения функции времени (диагностического параметра) ξ(t) в моменты времени t _i, i = 1,… п; t _i Т ₁. Необходимо определить вероятность того, что значение функции ξ(t)не выйдет за допустимые пределы ξ_ДОП в моменты времени t _n+j; j = l, m, t _n+j Т ₂, т. е. P{ξ_n+j > ξ_ДОП}.

Определить вероятность не сложно, если известен закон распределения диагностического параметра,

где – плотность распре­деления значений ξ во времен­ном сечении t _n+j с математиче­ским ожиданием m _n+j (ξ) и дис­персией .

Функция распределения F _i(ξ) случайной величины ξ во временном сечении t _iсвязана с плотностью распределения f _i(ξ)следующим соотношением:

Рисунок 8.10 – Нормальный закон распределения

 

На практике значения диагностических параметров наиболее часто распределены по нормальному закону (рис. 8.10).

где m _ξ – математическое ожидание (среднее); σ_ξ – среднеквадратич­ное отклонение (характеризует разброс величины относительно мате­матического ожидания); = D _ξ– дисперсия.

Эти величины рассчитываются следующим образом:

Если закон распределения нормальный, то вероятностное прогно­зирование может быть сведено к прогнозированию изменения матема­тического ожидания.

Иллюстрация постановки и решения задачи вероятностного про­гнозирования с использованием статистической экстраполяции приве­дена на рис. 8.11.

Рисунок 8.11 – Вероятностное прогнозирование

 

Для решения задачи вероятностного прогнозирования необходимо:

— на интервале Т ₁определить m _ξи σ_ξ для каждого временного сечения;

— осуществить интерполяцию значений m _ξ и получить экстраполяционный полином;

— выполнить экстраполяцию m _ξи σ_ξ втребуемое время t _n+j;

— рассчитать вероятность выхода-невыхода диагностического параметра за допустимые пределы,

Для обеспечения необходимой точности прогноза при вероятностном прогнозировании необходимо для каждого временного сечения определить закон распределения значений параметра, поэтому требуется выборка около 30...50 однотипных ОД. Количество рассматриваемых временных сечений для интерполяции характера изменения параметра выбирается так же, как и при аналитическом прогнозировании.