Вероятностные методы

Одним из наиболее простых и эффективных вероятностных ме­тодов технической диагностики при наличии достаточного объема статистических данных является метод, основанный на ис­пользовании обобщенной формулы Байеса.

Пусть диагностируемая система может находиться в одном из состояний (диагнозах) D ₁, D ₂,..., D _n,которые образуют полную группу несовместных событий. Это означает, что одновременно может быть поставлен только один диагноз D _i. Из опыта эксплуа­тации подобных систем известны вероятности P (D _i)нахождения системы в состоянии D _i. Вероятность P (D _i)называется априорной вероятностью диагноза. Так, если ранее наблюдалось N систем и у N _iсистем имелось состояние D _i, то

P (D _i) = N _i /N. (8.1)

При этом (8.2)

Пусть работа данной системы характеризуется диагностическим параметром y _j. Событие (признак) k _j(«выход параметра y _j за допу­стимые пределы») возникает при переходе системы в некоторые состояния D _i(при возникновении дефектов). Из опыта эксплуата­ции должны быть известны вероятности P (k _j / D _i)появления при­знака k _j у системы в состоянии D _i. Так, если ранее среди N _i систем, имеющих диагноз D _i, признак k _jнаблюдался у N _ijсистем, то

P (k _j / D _i) = N _ij / N _i. (8.3)

Теперь задача диагноза может быть сформулирована следую­щим образом. У системы наблюдается признак k _j, т.е. отклонился за допустимые пределы диагностический параметр y _j. В каком со­стоянии D _iнаходится система с наибольшей вероятностью?

Обозначим через P (D _i / k _j) — вероятность того, что система на­ходится в состоянии D _i, если наблюдается признак k _j. Эта вероят­ность называется апостериорной вероятностью диагноза. Ее опре­деление и является целью диагноза. Вероятность того, что система на­ходится в состоянии D _iи имеет признак k _j), обозначим через P (D _i k _j). Тогда имеет место равенство

P (D _i k _j) = P (D _i) ∙P (k _j / D _i) = P (k _j)∙ P (D _i / k _j)(8.4)

где P (k _j) — вероятность появления признака k _jнезависимо от состояния системы.

Из формулы (8.4) следует формула Байеса

P (D _i / k _j) = P (D _i) ∙P (k _j / D _i) / P (k _j) (8.5)

В формуле (8.5) величины P (D _i) и P (k _j / D _i)должны быть извест­ны из статистических данных, полученных в процессе эксплуата­ции. Найдем величину P (k _j).Событие k _j возникает вместе с одним из несовместных событий D ₁, D ₂,..., D _n. Поэтому

P (k _j) = P (D ₁ k _j) + P (D ₂ k _j) + … + P (D _n k _j) = . (8.7)

Формула (8.7) является формулой полной вероятности события k _j, происходящего вместе с полной группой независимых событий. С учетом (8.7) формула Байеса принимает вид (8.8):

Из (8.8) следует, что (8.9):

т. е. сумма апостериорных вероятностей диагноза для данного при­знака k _jравна 1.

Обобщенная формула Байеса применяется, если диагностируе­мая система характеризуется множеством параметров { y ₁, y ₂,… y _j…, y _n} и в результате измерений становится известен вектор признаков К* = (k ₁*, k ₂*,… k _j*…, k _n*). Здесь знак «*» оз­начает конкретную реализацию признака k _j. Тогда формула (8.8) принимает вид (обобщенная формула Байеса) (8.11):

где P (D _i /К*) – апостериорная вероятность диагноза после того, как стали известны результаты измерений по вектору признаков K. При условии независимости диагностических признаков вели­чина P(K*/Dj) рассчитывается по формуле: P (K* / D _i) = P (K ₁ * / D _i)∙ P (K ₂ * / D _i)… P (K _n * / D _i)(8.12)

При использовании метода Байеса составляется диагностичес­кая таблица на основе статистического материала. В ней для каждого диагноза D _iуказывается значение априорной вероят­ности этого диагноза [в столбце P (D _i)]и вероятностей появления разрядов признаков [в столбцах P (k _js / D _i)].

Если обследуется новая система и устанавливается ее диагноз D _t(t {1, 2,..., n }), то производится корректировка прежних апри­орных вероятностей диагнозов по формулам (8.13):

Таким образом, решающее правило, в соответствии с которым принимается решение о диагнозе в методе Байеса, состоит в следу­ющем: система с вектором признаков K* относится к диагнозу D _iс наибольшей (апостериорной) вероятностью P (D _i /К*), т.е. для диагноза D _iвыполняется условие

P (D _i /К*) = max. (8.15)

Условие (8.15) может быть дополнено пороговым значением для вероятности диагноза:

P (D _i /К*) ≥ P _i, (8.16)

где P _i – установленный уровень распознавания для диагноза D _i.