Метод граничных элементов при решении контактных задач. Алгоритм дискретизации. Определение напряжений и перемещений

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ

Имеем некоторое пространственное тело:

z S

 

 

x

 

y

Тогда, например, состояние деформируемого тела описывается под силой усилий S тензором напряжения , где i=1,2,3.

Предположим, что координата z, которая тождественно описывается индексом «ξ» = 0. Тогда имеем тело в плоскости xy.

y

 

x

и все контактные задачи будем рассматривать в плоскости xy.

Плоская задача:

Действие сосредоточенной силы на упругую изотропную полуплоскость.

Многие задачи контактного деформирования сводятся к решению действия сосредоточенной силы на упругую полуплоскость.

Эта задача рассмотрена Фломаном и известна как задача Фломана.

Задача Фламана иллюстрируется:

Имеем упругую полуплоскость и пусть на нее действует сосредоточенная сила:

y

 

P

E

 

Сила действует перпендикулярно плоскости (сила P). Полуплоскость имеет модуль упругости E и – коэффициент Пуассона.

Эта задача была решена в 1892 г.

Постановка задачи:

Задана упругая изотропная полуплоскость; на нее действует сосредоточенная сила. Необходимо найти напряженно-деформированное состояние от действия сосредоточенной силы в упругой полуплоскости (т.е. найти тензор напряжений: , , ).

Решение этой задачи сводится к нахождению функции Эри, т.е. к решению бигармонического уравнения, а затем находим напряжение.

y

 

P

x

 

E

ν

 

Если вырежем прямоугольник, то x,y – координаты, в которых нужно найти напряжение :

Имеем прямоугольник:

усилие

(G – модуль сдвига)

 

(поворот, угол)

Следовательно:

; ; ;

u, v – компоненты вектора перемещений.

Перемещение: u – вдоль x, u – вдоль y. Если задача пространственная, то еще w – по z.

Рассмотрим:

Компоненты перемещений:

;

осадка:

(*)

где: – модуль сдвига

E – модуль Юнга

x,y – координаты;

ν – коэффициент Пуассона;

L – произвольная постоянная, определенная для закрепления полуплоскости путем исключения ее движения (т.е. u_y=0 при x=L, y=0)

 

y

L

 

P

т.е. здесь y=0 x

(нет осадка

поверхности)

 

Измеряем u_y относительно смещения произвольной точки границы полуплоскости. Если положим y=0, то из формулы (*) получим следующую зависимость:

; (при y=0)

РАСПРЕДЕЛЯЕМАЯ НАГРУЗКА НА УПРУГУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ

Рассмотрим упругую полуплоскость, на которую действует определенная нагрузка:

y

 

 

x

x=b1 x=b2

dξ

x=ξ

Граничные условия:

Результирующая сила P(ξ)=Py(ξ)dξ. И так по всей поверхности.

В случае распределенной нагрузки на границе при произвольном законе, общее перемещение границы поверхности упругой полуплоскости может быть найдено, используя уравнение для перемещения (*) для сосредоточенной силы ее затем это уравнение интегрируем от b₁ до b₂.

(**)

(Здесь замена x→x-ξ; P→P(ξ)dξ – сосредоточенная сила)

Т.о. определяется перемещение всей упругой полуплоскости.

Величины u_x, и т.д. можно найти аналогично, сделав те же замены (см. выше).