Примеры решения задач вдавливания жесткого штампа в упругую полуплоскость

Рассмотрим упругую полуплоскость с постоянными: E –модуль упругости, - коэффициент Пуассона.

Пусть в эту полуплоскость вдавливается штамп под силой P. Длина штампа 2b. Происходит деформация (штамп плоский).

Запишем граничные условия:

Отсутствует трение между штампом и полуплоскостью. Если бы было трение, то , k-коэффициент трения.

Эта задача решается:

- численный метод решения.

Рассмотрим дискретную аппроксимацию напряжений, непрерывно распределенных на границе. Представим ее с помощью N-граничных элементов, одинаковых на участке . Считаем, что для малых элементов нормальное напряжение постоянно в каждом элементе.

Пусть это напряжение T_y^j в j-м элементе (y означает, что действует по нормали). Численное решение задачи сводится к нахождению значений напряжений T_y^j таких, что для всех j, при которых смещение в центре каждого элемента будет =–u₀. Давление P неизвестно и после разбиения на отрезки, на каждом элементе будет свое давление – постоянное.

Перемещение произвольной точки граничной полуплоскости под действием P_y для каждого элемента будет определятся по ранее приведенным формулам под действием постоянной нагрузки.

Ранее:

;

Здесь 2а-длина элемента, L-точка на поверхности полуплоскости, где перемещения=0.

Разбиваем участок на N-граничных элементов, длиной 2а каждый. Координаты xцентров i-го и j-го элеменотов xⁱ, x^j.

Если нагрузка постоянная и действует на площадке 2а с центром в точке x^j, тогда перемещение будет равно:

;

Перемещение i-го элемента, вызванного действием постоянной нагрузки в j-м элементе будет определятся при x=xⁱ. Перемещение u_y в центре i-го элемента возникает от действия постоянной нагрузки во всех N элементах путем суперпозиции.

,

где B^ij определяется по формуле:

;

B^ij – коэффициенты влияния смещения в центре i-го элемента (и возник. От действия постоянной единичной нагрузки на j-м элементе). Численное решение задачи о штампе дается системой линейных уравнений с N –неизвестными:

, i=1,2,3,…,N

Находим постоянное давление T_y^j, решая эту систему.

Решая СЛАУ при заданном u₀ находим неизвестные компоненты давления T_y^j, затем строим график изменения давления на всем участке.

, .

-аналитический метод решения.

Ранее

.

(**)