Примеры решения задач

Эта задача решается при помощи численного метода решения:

Рассмотрим дискретную аппроксимацию напряжений, непрерывно распределенных на границе. Представим ее с помощью N-граничных элементов, одинаковых на участке . Считаем, что для малых элементов нормальное напряжение постоянно в каждом элементе.

Пусть это напряжение T_y^j в j-м элементе (y означает, что действует по нормали). Численное решение задачи сводится к нахождению значений напряжений T_y^j таких, что для всех j, при которых смещение в центре каждого элемента будет =–u₀. Давление P неизвестно и после разбиения на отрезки, на каждом элементе будет свое давление – постоянное.

Перемещение произвольной точки граничной полуплоскости под действием P_y для каждого элемента будет определятся по ранее приведенным формулам под действием постоянной нагрузки.

Ранее:

;

Здесь 2а-длина элемента, L-точка на поверхности полуплоскости, где перемещения=0.

Разбиваем участок на N-граничных элементов, длиной 2а каждый. Координаты xцентров i-го и j-го элеменотов xⁱ, x^j.

Рис.

Если нагрузка постоянная и действует на площадке 2а с центром в точке x^j, тогда перемещение будет равно:

;

Перемещение i-го элемента, вызванного действием постоянной нагрузки в j-м элементе будет определятся при x=xⁱ. Перемещение u_y в центре i-го элемента возникает от действия постоянной нагрузки во всех N элементах путем суперпозиции.

,

где B^ij определяется по формуле:

;

B^ij – коэффициенты влияния смещения в центре i-го элемента (и возник. От действия постоянной единичной нагрузки на j-м элементе). Численное решение задачи о штампе дается системой линейных уравнений с N –неизвестными:

, i=1,2,3,…,N

Находим постоянное давление T_y^j, решая эту систему.