Применение метода теории функции комплексного переменного при решении контактных задач

Для важного класса плоских (двумерных) задач теории упругости перемещения, деформации и напряжения зависят только от двух координат на плоскости. Основные уравнения, а также общие методы решения полу­чаются как частный случай из соотношений для трехмерной сплошной среды. Примене­ние функций напряжений в плоской теории упругости имеет большое практическое значение. Весьма плодотворным является при этом введение комплексной переменной и использование методов теории аналитических функций, приводящих к эффек­тивному методу решения. В основном он был построен Ко­лосовым и позднее развит Мусхелишвили. Способ основан на том, что каждая бигармоническая функ­ция может быть представлена двумя аналитическими функция­ми комплексной переменной. При применении декартовых коор­динат х\ = х, х₂ = у компоненты напряжений и перемещений в плоском случае а_хх, о_уу, %_ху и и_х = и, u_y = v могут рассмат - кручения. С другой стороны, можно показать, что для всякой веще­ственной бигармонической функции на плоскости справедливо общее представление с помощью двух анали­тических функций ф(г) и %(z): Это соответствует общему решению бигармонического диффе­ренциального уравнения AAF(x, у) = 0 на плоскости. Таким образом, можно представить всякую бигармоническую функцию напряжений относительно двух переменных в форме (6.2). Следовательно, плоскую задачу теории упругости можно свести к определению двух ана­литических функций. Таким способом в 1909 г. Г. В. Колосов впервые ре­шил важные задачи определения напряжений (например, о концентрации напряжений на эллиптическом отверстии в бесконечно протяженной растя­гиваемой пластине). Позднее этот способ был повторен независимо от него Стивенсоном.

Компоненты напряжений и перемещений связаны с ком­плексными функциями напряжений ф(г) и op(z) (которые ино­гда называют также комплексными потенциалами) формулами Колосова

При этом х зависит от упругих постоянных; кроме того, введено обозначение %'(z) = ty(z), а штрих, как обычно, означает про­изводную по аргументу функции. Если комплексные функции напряжений известны, то дей­ствительная и мнимая части соотношений (6.3) дают реальные - физические величины, т. е. напряжения и перемещения. Для определения комплексных функций напряжений привлекаются, общие теоремы теории аналитических функций, причем важным вспомогательным средством при расчетах являются так назы­ваемые интегралы типа Коши. Решения получаются частично' элементарным способом, частично сводятся к сложным инте­гральным уравнениям. Для многих задач способ комплексных функций напряжений может рассматриваться как «прямой» ме­тод решения. Для вычислений в криволинейных координатах лучше всего подходит - способ конформного отображения с помощью комплексных аналитических, функций. Криволинейные координаты, применяемые в зависимости от формы-границы, весьма целесообразны при точном и приближенном рассмотрении многочисленных задач теории упругости.