Действие сосредоточенной силы на упругую полуплоскость. Применения преобразований Фурье

Рассмотрим плоскую статическую задачу для упругой полуплоскости, нагруженную по контуру. Считаем, что тело в декартовой системе координат занимает область ,т.е.

y

 

 

f(x)

 

0 x

П изотропная

упругая

полуплоскость

 

Нужно найти напряженное состояние в любой точке.

Задача состоит в интегрировании системы дифференциальных уравнений для напряжений .

Из классической теории упругости известно, что эти напряжения должны удовлетворять системе уравнений равновесия:

(1)

 

При этом должны выполняться условия непрерывности:

(2),

где - оператор Лапласа.

Зададим на поверхности этой полуплоскости граничные условия:

(3)

где f(x) - усилие; q(x) - касательное усилие.

Известно, что эти напряжения должны удовлетворять (1), (2), (3).

Решается методом Фурье.

Предположим, что на бесконечности эти напряжения стремятся к 0 вместе со своими производными. Для того чтобы,облегчить решение этой задачи, введем преобразование Фурье от напряжений по известным формулам:

(4)

Будем иметь дело с изображениями .

Умножим уравнение (1), (2) на и интегрируя по х на интервале получим систему равенств, которые после интегрирования по частям превращаются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно величин .

Имеем:

(5)

(5) - система обыкновенных дифференциальных уравнений.

При этом (5) должно удовлетворять граничным условиям:

(6)

Предположим, что преобразование Фурье для заданной граничной функции всегда существует.

Тогда из (5) можем найти:

(7)

Подставляя в третье уравнение системы (5) (7) получаем уравнение четвертого порядка:

(8)

Учитывая, что на бесконечности стремится к нулю решение ищем в виде:

Найдем постоянные A() и В().Для этого подставим граничные условия и найдем А и В:

Подставим А и В в ,следовательно получим решение:

Напишем чему будет равно напряжение в преобразованиях:

 

Для упрощения решения может быть использовано преобразование Фурье. Окончательное решение поставленной задачи может быть получено с помощью формулы обращения Фурье.

Например, для напряжения :

 

(подставили вместо f и g их значения).

Предположим, что допустима перестановка порядка интегрирования, тогда получаем:

где f - нормальная нагрузка, g - касательная нагрузка.

После нахождения квадратур будем иметь следующее:

Аналогично получаем формулы для других напряжений:

Таким образом получено в однократных квадратурах точное решение простой задачи для случая произвольного внешнего загружения. Решение удовлетворяет всем условиям задачи.