Действие сосредоточенных сил на упругое полупространство. Определение перемещений. Нахождение напряжений

Пусть плоскость z = 0 является гранью полубесконечного сплошного тела пусть на эту плоскость действует сосредоточенная сила Р по оси z (рис. 22). В литературе эта задача име­нуется задачей Буссинеска.

рис. 22

Для радиального напряжения можно принять в качестве первой попытки

.

Переходя к цилиндрическим координатам, по формулам перехода должны получить

.

Заменяя , имеем:

(2.39)

. (2.40)

Для определения коэф­фициента k составим уравнение равновесия по какому-либо горизонтальному сечению z = a. Для элементарной площадки в виде бесконечно тонкого кольца шириной dr и радиуса r имеем элементарную внут­реннюю силу

.

Со всех таких элементарных площадок, т. е. со всего сечения z = a, имеем сумму внутренних усилий

. (2.41)

Так как , то, дифференцируя, имеем 2ldl = 2rdr. Таким образом, (2.41) перепишется:

.

Уравнение равновесия по сечению z = а (сумма проекций на ось z) приводит к выражению

,

откуда .

То, что выражения (2.39) и (2.40) дают точное решение задачи, можно доказать путем использования функции на­пряжений. Выполнение этой операции позволит определить нам также и другие компоненты напряжений (s_q, s_r).

На основании (2.13, 2.14, 2.15)

.

Окончательно формулы для напряжений примут вид:

. (2.42)

 

Для определения перемещений используем уравнения (2.2). Компо­нента смещения вдоль радиуса r

. (2.43)

После подстановки в (2.43) выражений (2.42) и преобразо­ваний получаем

.

При l = ¥;, как и следует ожидать, и == 0. На основании этого

,

откуда

. (2.44)

После подстановки в (2.44) выражений (2.42) и интегриро­вания, принимая также, что w_r=¥ = 0, получаем:

.

Для вертикальных перемещений точек на граничной плоскости z = 0 для так называемой “дневной поверхности” получим выражение:

. (2.45)

У начала координат, как это было и в плоской задаче, перемещения и напряжения становятся бесконечно боль­шими, и потому, необхо­димо представить, что у начала координат в области пла­стических деформаций материал вырезан полусферической поверхностью малого радиуса, а сосредоточенная сила Р заменена статически эквивалентными усилиями, распределен­ными по этой поверхности.

Полное напряжение в любой точке горизонтальной площадки (т.е. равнодействующая напряжений sz и trz на рис. 23) . Если, далее, очертить произволь­ным диаметром d сферу, касающуюся граничной плоскости в той же точ­ке O, то по всем горизонтальным площадкам, размещенным на поверх­ности этой сферы, полные напря­жения