Действие сосредоточенных сил на упругое полупространство. Задача Черрути

Пусть плоскость z = 0 является гранью полубесконечного сплошного тела пусть на эту плоскость действует сосредоточенная сила Р по оси z (рис. 22). В литературе эта задача име­нуется задачей Буссинеска.

Окончательно формулы для напряжений примут вид:

Для определения перемещений используем уравнения (2.2). Компо­нента смещения вдоль радиуса r

. (2.43)

После подстановки в (2.43) выражений (2.42) и преобразо­ваний получаем

.

При l = ¥;, как и следует ожидать, и == 0. На основании этого

,

откуда

. (2.44)

После подстановки в (2.44) выражений (2.42) и интегриро­вания, принимая также, что w_r=¥ = 0, получаем:

.

Для вертикальных перемещений точек на граничной плоскости z = 0 для так называемой “дневной поверхности” получим выражение:

.

Пусть на поверхности z = 0 полупространства в начале ко­ординат приложена сосредоточенная сила Q в направлении оси х согласно рис. 9.6 (в остальном поверхность свободна от нагрузки).

 

Рис. 9.6. Сосредоточенная сила, касательная к границе полупространства (задача Черрути).

 

В рассматриваемом случае задача уже не является осесимметричной. Решение, однако, можно получить аналогично тому, как это делалось для задачи Буссинеска, комбинированием по­тенциала деформаций Ламе

и вектора Буссинеска с компонентами

причем А, В и С — произвольные постоянные (имеющие другие значения, нежели приведенные в предыдущем разделе). При­меним соотношения, указанные в п. 5.1.2 и 5.1.З. Из (5.10) и (5.21) получаются выражения для перемещений

и т.д.,

а (5.12) и (5.24) для напряжений

и т.д.

Постоянные А, В, С определяются из граничных условий при z = 0, а также из условия равновесия (каса­тельных сил внаправлении оси х на плоскости z=const и силы Q) и будут равны

В результате получаем формулы в декартовых координатах для компонент перемещений

 

и напряжений