Преобразование ФурьеПусть функция f(x) задана на действительной оси, удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема. Имеет место интегральная формула Фурье f (x)= Для точек разрыва f (x) в (4.1) заменяется на f (x)= Функцию
называют трансформантой (преобразованием Фурье) функции f ( f (x)= которая, даёт обратное преобразование Фурье или восстановление оригинала по трансформанте, справедливое при любом Пусть теперь имеются две функции f (x) и g (x), преобразование Фурье которых
Он называется свёрткой этих функций и обозначается f
Это показывает, что произведение Отметим частные случаи преобразования Фурье, когда исходная функция задаётся на положительной части вещественной оси. В этом случае вводятся косинус - и синус -преобразования Фурье:
Преобразование Фурье распространяется на случай многих переменных. Пусть функция f (
|
(4.1)
. Перепишем (4.1) в комплексной записи:
(4.2)
(4.3)
). Вместо 
, (4.4)
.
и 
. Рассмотрим интеграл
. (4.5)
. Осуществим обратное преобразование (см. (4.4)) этого интеграла для функции g (x - 
:
;
(*) является преобразованием Фурье от свёртки.
, f (x)= 
, (4.5’)
, 
. (4.5’’)
классу функций, суммируемых во всём пространстве. Тогда n-мерным преобразованием Фурье называется 
интеграл
. 
