Действие сосредоточенных сил на упругое полупространство. Задача Буссинеска

Пусть плоскость z = 0 является гранью полубесконечного сплошного тела пусть на эту плоскость действует сосредоточенная сила Р по оси z (рис. 22). В литературе эта задача име­нуется задачей Буссинеска.

Окончательно формулы для напряжений примут вид:

Для определения перемещений используем уравнения (2.2). Компо­нента смещения вдоль радиуса r

. (2.43)

После подстановки в (2.43) выражений (2.42) и преобразо­ваний получаем

.

При l = ¥;, как и следует ожидать, и == 0. На основании этого

,

откуда

. (2.44)

После подстановки в (2.44) выражений (2.42) и интегриро­вания, принимая также, что w_r=¥ = 0, получаем:

.

Для вертикальных перемещений точек на граничной плоскости z = 0 для так называемой “дневной поверхности” получим выражение:

.

Задача Буссинеска. Пусть на поверхности полубесконечного упругого тела с плоской границей z =0 (так называемое полупространство) действует в начале координат нормальная сосредоточенная сила (рис. 9.4). Речь идет об осесимметричиой задаче. На бес­конечности напряжения должны обращаться внуль. Решение удается получить с помощью формул Буссинеска (см. п. 5.1.6) при использовании гармонических функций. Согласно (5.52), имеем

где

Компоненты перемещений и напряжений в декартовых координатах для задачи Буссинеск выражаются в виде