А) Условия изоэнтропного течения

Примем следующую модель среды:

- среда невесомая,

- со стороны стенок на среду действуют силы давления и трения,

- возможен теплообмен через стенки канала,

- возможен массообмен через стенки канала,

- вдоль канала параметры меняются непрерывно.

По поперечному сечению параметры постоянны.

Воспользуемся системой уравнений движения среды в интегральной форме. Эти три уравнения имеют одну и туже структуру и с учётом принятой модели могут быть записаны в виде:

, (5.1)

где

; ; (5.2)

Буем рассматривать массу среды, заключённую в начальный момент времени в канале между сечениями и .

Запишем левую часть уравнения для одномерного движения:

. (5.3)

Так как параметры постоянны по поперечному сечению, то

. (5.4)

Обратимся теперь к правой части уравнения. Обозначим и .

Теперь рассмотрим силы, действующие на выделенную массу (см. рис. 5.1). Поскольку среда невесомая, то массовые силы равны нулю. Обозначим проекцию на ось Ox силы трения через , действующей со стороны газа на стенки канала.

Проекция на ось Ox силы давления, действующей в левом сечении равна , а в правом .

Знак “–” потому, что проекция силы действующей на правую грань, направлена в сторону противоположную направлению оси Ox.

Проекция силы давления, действующей со стороны стенок канала равна:

, но , поэтому .

Сумма проекций на ось Ox всех поверхностных сил:

. (5.5)

Рассмотрим сумму работ.

Сила трения, возникающая у стенок, приводит к тому, что скорость среды непосредственно у стенок равна 0, а по сечению остаётся постоянной. По этой причине перемещение у стенок отсутствует и работа сил, действующих на выделенную массу со стороны стенок, равна 0, т.е. работу совершают только силы, действующие в поперечных сечениях. Значит

.

Учитывая всё это, запишем систему уравнений для одномерного движения:

(5.6)

, (5.7)

. (5.8)

Преобразуем второе и третье уравнения

,

.

Разделим почленно второе уравнение на , а третье – на G

,

, (5.9)

. (5.10)

Будем предполагать, что подводимая из вне масса газа поступает в каждое сечение со скоростью основного течения (), а величина . Это позволяет систему уравнений записать в более простом виде:

(5.11)

Выясним теперь, при каких условиях течение газа проходит с постоянной энтропией, и какие факторы приводят к её изменению. Учтём, что и перепишем два последних уравнения системы (5.11)

, (5.12)

. (5.13)

Вычтем теперь из (5.13) выражение (5.12) и воспользуемся основным уравнением термодинамики , получим:

или

. (5.14)

Это уравнение показывает, что течение газа с подводом массы, имеющей одинаковую с основным потоком составляющую скорости и энтальпию , энтропия в общем случае не остаётся постоянной.

Трение всегда приводит к увеличению энтропии, а теплообмен может как увеличивать (), так и уменьшать (). При течении невязкого () и нетеплопроводного () газа энтропия в непрерывном течении остаётся постоянной, т.е. течение является изоэнтропным.