Прямые методы решения СЛАУ. Методы прогонкиОдной из самых распространённых задач вычислительной математики является решение систем линейных алгебраических уравнений и ряда связанных с ним вопросов, таких как вычисление определителей, обращение матриц, отыскание их собственных значений. Этот круг вопросов называется задачами линейной алгебры. Система из n - линейных алгебраических уравнений с n - неизвестными имеет вид Методы решения систем уравнений:
делятся на точные (прямые) и приближенные (итерационные). Прямые методы позволяют в предположении отсутствия ошибок округления получить точное решение задачи за конечное число арифметических действий. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений. Метод прогонки. Применяется для решения систем уравнений с трехдиагональной (ленточной) матрицей. Такая система уравнений записывается в виде:
Является частным случаем метода Гаусса и состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход состоит в исключении элементов матрицы системы (2.6), лежащих ниже главной диагонали. В каждом уравнении останется не более двух неизвестных и формулу обратного хода можно записать в следующем виде:
Уменьшим в формуле (2.7) индекс на единицу:
Выразим
Сравнивая (2.7) и (2.8), получим:
Поскольку
Теперь по формулам (2.9) и (2.10) можно вычислить прогоночные коэффициенты Пример 2.3. Решить систему уравнений методом прогонки:
Решение. Коэффициенты записываем в виде таблицы 2.1.
Прямой ход прогонки. По формулам (2.9) и (2.10) определяем прогоночные коэффициенты
Обратный ход прогонки. По формулам (2.7) вычисляем все Далее вычисляем:
Вычисляем невязки
|
, (2.6)
.
, 
(2.7)
и подставим в (2.6):
:
(2.8)
, то
, 
(2.10)
и 
(
). Это прямой ход прогонки. Зная прогоночные коэффициенты, по формулам (2.7), можно вычислить все 
) (обратный ход прогонки). Поскольку 
, то 
и 
. Далее вычисляем 
, 
,..., 
, 
.
).
, т.к. 
). Поскольку 
, то 
.
(
