End Sub. 28.Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений вида f(x)Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x) = 0

28.Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений вида f(x)Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x) = 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Сформулируем достаточное условие сходимости метода.

Пусть функция f(x) определена и дважды дифференцируема на интервале от a до b, причём должно быть f(a)f(b)<0 , а производные f(x) и f'(x) сохраняют знак на интервале от a до b. Тогда, исходя из начального приближения, Хо принадлежащие [a, b] и удовлетворяющих условию. , можно построить последовательность: Х_к+1 = Х_к - (f(X) / f^,(X)), К=0,1,2,3... , сходящуюся к единственному на интервале [a, b] корнюуравнения f(x)=0. Метод Ньютона позволяет (допускает) простую геометрическую интерпретацию.

Для завершения итерационного процесса можно использовать условия или .

Объем вычислений в методе Ньютона больше, чем в других методах, поскольку приходится находить значение не только функции , но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.

 

 

Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью .

Решение. Определим производные заданной функции : ; . Проверим выполнение условия сходимости на концах заданного интервала: - не выполняется, - выполняется. За начальное приближение корня можно принять .

Находим первое приближение:

.

Аналогично находится второе приближение:

.

Третье приближение:

.

Так как , итерационный процесс заканчивается. Таким образом, приближенным решением данного уравнения является Function F(x)

F = x ^ 3 + x - 1