Итерационный метод решения СЛАУ

Для решения систем линейных алгебраических уравнений и систем нелинейных уравнений можно использовать итерационные методы. В случае решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) итерационные методы заменяют, а иногда дополняют прямые методы. Так как прямые методы при больших значениях n накапливают погрешности, то результаты, полученные прямыми методами можно уточнять итерационными методами. Они дополняют прямые методы. При очень больших значениях n, если матрица системы слабо заполнена, то систему не имеет смысла решать прямыми методами, ее решают итерационными методами, так как они требуют меньше машинной памяти и выполнения меньшего числа операций. В случае системы нелинейных уравнений для их решения не существует универсальных прямых методов. Такие системы решают только итерационными методами.

 

 

Метод Якоби. Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу , вектор системы (2.1) и , приводит к новому вектору :

, (2.11)

Затем процесс повторяется, только вместо используется новое значение . На -м шаге итерационного процесса получают:

, (2.12)

При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при . Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A:

, (2.13)

Заданная точность достигается при выполнении условия:

(2.14)

Пример 2.5. Преобразовать систему уравнений:

(2.15)

к виду, пригодному для построения итерационного процесса методом Якоби и выполнить три итерации.

Решение. Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.

В -ом уравнении все члены, кроме , переносятся в правую часть:

(2.16)

Задается начальное приближение , которое подставляется в правую часть (2.16). Если , , ,то результаты первой итерации:

Результаты первой итерации подставляют в правую часть (2.16) и получают результаты второй итерации:

Результаты второй итерации подставляют в правую часть (2.16) и получают результаты третьей итерации:

Определяют достигнутую точность