Студопедия — Параметры параболы
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Параметры параболы






Точка F (p /2, 0) называется фокусомпараболы, величина pпараметром, точка О (0, 0) – вершиной (рис. 9.15). При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

 
 

 


Рис. 9.15

Величина где M (x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = – p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетомпараболы.

Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 9.15).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 9.16):

а) б) в)

 
 

 

 


Рис. 9.16

 

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

1) 2)

Решение. 1) Уравнение y 2 = –8 x определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2= –2 px, находим: 2 p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 9.17).

 
 

 

 


Рис. 9.17

 

2) Уравнение x 2 = –4 y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2 py, находим: 2 p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 9.18).

 

 

 


Рис. 9.18

 

Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8 x – 16 y – 32 = 0. Сделать рисунок.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x 2 + 8 x – 16 y – 32 = 0;

(x + 4)2 – 16 – 16 y – 32 = 0;

(x + 4)2 – 16 y – 48 = 0;

(x + 4)2 – 16(y + 3) = 0.

В результате получим:

(x + 4)2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 9.19).

 
 

 


Рис. 9.19

 

Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = –3 и точки F (0; 3).

Решение. Точка F (0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x 2 = 2 py с параметром p = 2 × 3 = 6, т. е. x 2 = 12 y (рис. 9.20).

 
 

 


Рис. 9.20

 

Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Следовательно, искомое уравнение

(y + 2)2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2)2 = –8(x – 3).

Задания

 

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и постройте ее:

1) y 2 = 2 x; 2) y 2 = –3 x;

3) x 2 = 6 y; 4) x 2 = – y.

 

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и параметр p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).

3) директриса задана уравнением 3 y + 4 = 0.

 

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

 

II уровень

2.1. Определите тип и параметры кривой:

1) x 2 – 8 x + 2 y + 18 = 0; 2) x = 2 y 2 – 12 y + 14.

Сделайте рисунок.

 

2.2. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 3 x – 2 y + 5 = 0 с осью ординат.

 

2.3. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке V (3, –2) и фокусом F (3; 0).

 

2.4. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке (–1; 1) и уравнением директрисы y – 1 = 0.

 

2.5. Составьте уравнение параболы с фокусом и директрисой

 

III уровень

3.1. Составьте уравнение параболы, проходящей через точки (–1; 1), (1; 3) и (31, 9).

3.2. Найдите расстояние от левого фокуса эллипса до прямой, проходящей через точки его пересечения с параболой y 2 = 12 x.

 

3.3. Составьте полярное уравнение параболы, приняв ее вер­шину за полюс, а ее ось – за полярную ось.

 

3.4. Докажите, что множество точек, равноудаленных от точки и прямой есть парабола

 

3.5. Составьте параметрические уравнения параболы принимая в качестве параметра ординату у.

 

3.6. Определите уравнение кривой в прямоугольных координатах и постройте ее, если она задана параметрически с помощью уравнений







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 12527. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия