Студопедия — Параметры параболы
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Параметры параболы






Точка F (p /2, 0) называется фокусомпараболы, величина pпараметром, точка О (0, 0) – вершиной (рис. 9.15). При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

 
 

 


Рис. 9.15

Величина где M (x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = – p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетомпараболы.

Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 9.15).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 9.16):

а) б) в)

 
 

 

 


Рис. 9.16

 

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

1) 2)

Решение. 1) Уравнение y 2 = –8 x определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2= –2 px, находим: 2 p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 9.17).

 
 

 

 


Рис. 9.17

 

2) Уравнение x 2 = –4 y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2 py, находим: 2 p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 9.18).

 

 

 


Рис. 9.18

 

Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8 x – 16 y – 32 = 0. Сделать рисунок.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x 2 + 8 x – 16 y – 32 = 0;

(x + 4)2 – 16 – 16 y – 32 = 0;

(x + 4)2 – 16 y – 48 = 0;

(x + 4)2 – 16(y + 3) = 0.

В результате получим:

(x + 4)2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 9.19).

 
 

 


Рис. 9.19

 

Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = –3 и точки F (0; 3).

Решение. Точка F (0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x 2 = 2 py с параметром p = 2 × 3 = 6, т. е. x 2 = 12 y (рис. 9.20).

 
 

 


Рис. 9.20

 

Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Следовательно, искомое уравнение

(y + 2)2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2)2 = –8(x – 3).

Задания

 

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и постройте ее:

1) y 2 = 2 x; 2) y 2 = –3 x;

3) x 2 = 6 y; 4) x 2 = – y.

 

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и параметр p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).

3) директриса задана уравнением 3 y + 4 = 0.

 

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

 

II уровень

2.1. Определите тип и параметры кривой:

1) x 2 – 8 x + 2 y + 18 = 0; 2) x = 2 y 2 – 12 y + 14.

Сделайте рисунок.

 

2.2. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 3 x – 2 y + 5 = 0 с осью ординат.

 

2.3. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке V (3, –2) и фокусом F (3; 0).

 

2.4. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке (–1; 1) и уравнением директрисы y – 1 = 0.

 

2.5. Составьте уравнение параболы с фокусом и директрисой

 

III уровень

3.1. Составьте уравнение параболы, проходящей через точки (–1; 1), (1; 3) и (31, 9).

3.2. Найдите расстояние от левого фокуса эллипса до прямой, проходящей через точки его пересечения с параболой y 2 = 12 x.

 

3.3. Составьте полярное уравнение параболы, приняв ее вер­шину за полюс, а ее ось – за полярную ось.

 

3.4. Докажите, что множество точек, равноудаленных от точки и прямой есть парабола

 

3.5. Составьте параметрические уравнения параболы принимая в качестве параметра ординату у.

 

3.6. Определите уравнение кривой в прямоугольных координатах и постройте ее, если она задана параметрически с помощью уравнений







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 12506. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия