Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Параметры параболы






Точка F(p/2, 0) называется фокусомпараболы, величина pпараметром, точка О(0, 0) – вершиной (рис. 9.15). При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

 
 

 


Рис. 9.15

Величина где M(x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = –p/2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетомпараболы.

Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 9.15).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 9.16):

а) б) в)

 
 

 

 


Рис. 9.16

 

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1.Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

1) 2)

Решение.1) Уравнение y2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y2= –2px, находим: 2p = 8, p = 4, p/2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F(–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 9.17).

 
 

 

 


Рис. 9.17

 

2) Уравнение x2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O(0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x2 = –2py, находим: 2p = 4, p = 2, p/2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F(0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 9.18).

 

 

 


Рис. 9.18

 

Пример 2.Определить параметры и вид кривой x2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать рисунок.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x2 + 8x – 16y – 32 = 0;

(x + 4)2 – 16 – 16y – 32 = 0;

(x + 4)2 – 16y – 48 = 0;

(x + 4)2 – 16(y + 3) = 0.

В результате получим:

(x + 4)2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх осью x = –4. Фокус находится в точке F(–4; –3 + p/2), т. е. F(–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p/2 или y = –7 (рис. 9.19).

 
 

 


Рис. 9.19

 

Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = –3 и точки F(0; 3).

Решение. Точка F(0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x2 = 2py с параметром p = 2 × 3 = 6, т. е. x2 = 12y (рис. 9.20).

 
 

 


Рис. 9.20

 

Пример 4.Составить уравнение параболы с вершиной в точке V(3; –2) и фокусом в точке F(1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p/2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Следовательно, искомое уравнение

(y + 2)2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2)2 = –8(x – 3).

Задания

 

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и постройте ее:

1) y2 = 2x; 2) y2 = –3x;

3) x2 = 6y; 4) x2 = –y.

 

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и параметр p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M(4; –2).

3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.

 

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

 

II уровень

2.1.Определите тип и параметры кривой:

1) x2 – 8x + 2y + 18 = 0; 2) x = 2y2 – 12y + 14.

Сделайте рисунок.

 

2.2. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 3x – 2y + 5 = 0 с осью ординат.

 

2.3. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке V(3, –2) и фокусом F(3; 0).

 

2.4. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке (–1; 1) и уравнением директрисы y – 1 = 0.

 

2.5. Составьте уравнение параболы с фокусом и директрисой

 

III уровень

3.1. Составьте уравнение параболы, проходящей через точки (–1; 1), (1; 3) и (31, 9).

3.2. Найдите расстояние от левого фокуса эллипса до прямой, проходящей через точки его пересечения с параболой y2 = 12x.

 

3.3. Составьте полярное уравнение параболы, приняв ее вер­шину за полюс, а ее ось – за полярную ось.

 

3.4. Докажите, что множество точек, равноудаленных от точки и прямой есть парабола

 

3.5. Составьте параметрические уравнения параболы принимая в качестве параметра ординату у.

 

3.6. Определите уравнение кривой в прямоугольных координатах и постройте ее, если она задана параметрически с помощью уравнений







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 11588. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Тема: Изучение приспособленности организмов к среде обитания Цель:выяснить механизм образования приспособлений к среде обитания и их относительный характер, сделать вывод о том, что приспособленность – результат действия естественного отбора...

Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов...

Правила наложения мягкой бинтовой повязки 1. Во время наложения повязки больному (раненому) следует придать удобное положение: он должен удобно сидеть или лежать...

ТЕХНИКА ПОСЕВА, МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ЧИСТЫХ КУЛЬТУР И КУЛЬТУРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МИКРООРГАНИЗМОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА БАКТЕРИЙ Цель занятия. Освоить технику посева микроорганизмов на плотные и жидкие питательные среды и методы выделения чис­тых бактериальных культур. Ознакомить студентов с основными культуральными характеристиками микроорганизмов и методами определения...

САНИТАРНО-МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОДЫ, ВОЗДУХА И ПОЧВЫ Цель занятия.Ознакомить студентов с основными методами и показателями...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.019 сек.) русская версия | украинская версия