Параметры параболыТочка F(p/2, 0) называется фокусомпараболы, величина p – параметром, точка О(0, 0) – вершиной (рис. 9.15). При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.
Рис. 9.15 Величина Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 9.15). Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 9.16): а)
Рис. 9.16
Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы: где t – произвольное действительное число. Пример 1.Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению: 1) Решение.1) Уравнение y2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y2= –2px, находим: 2p = 8, p = 4, p/2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F(–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 9.17).
Рис. 9.17
2) Уравнение x2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O(0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x2 = –2py, находим: 2p = 4, p = 2, p/2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F(0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 9.18).
Рис. 9.18
Пример 2.Определить параметры и вид кривой x2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать рисунок. Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата: x2 + 8x – 16y – 32 = 0; (x + 4)2 – 16 – 16y – 32 = 0; (x + 4)2 – 16y – 48 = 0; (x + 4)2 – 16(y + 3) = 0. В результате получим: (x + 4)2 = 16(y + 3). Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх
Рис. 9.19
Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = –3 и точки F(0; 3). Решение. Точка F(0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x2 = 2py с параметром p = 2 × 3 = 6, т. е. x2 = 12y (рис. 9.20).
Рис. 9.20
Пример 4.Составить уравнение параболы с вершиной в точке V(3; –2) и фокусом в точке F(1; –2). Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p/2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Следовательно, искомое уравнение (y + 2)2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2)2 = –8(x – 3). Задания
I уровень 1.1. Определите параметры параболы и постройте ее: 1) y2 = 2x; 2) y2 = –3x; 3) x2 = 6y; 4) x2 = –y.
1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что: 1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и параметр p = 4; 2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M(4; –2). 3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.
1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.
II уровень 2.1.Определите тип и параметры кривой: 1) x2 – 8x + 2y + 18 = 0; 2) x = 2y2 – 12y + 14. Сделайте рисунок.
2.2. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 3x – 2y + 5 = 0 с осью ординат.
2.3. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке V(3, –2) и фокусом F(3; 0).
2.4. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке (–1; 1) и уравнением директрисы y – 1 = 0.
2.5. Составьте уравнение параболы с фокусом
III уровень 3.1. Составьте уравнение параболы, проходящей через точки (–1; 1), (1; 3) и (31, 9). 3.2. Найдите расстояние от левого фокуса эллипса
3.3. Составьте полярное уравнение параболы, приняв ее вершину за полюс, а ее ось – за полярную ось.
3.4. Докажите, что множество точек, равноудаленных от точки
3.5. Составьте параметрические уравнения параболы
3.6. Определите уравнение кривой в прямоугольных координатах и постройте ее, если она задана параметрически с помощью уравнений Поможем в написании учебной работы
|