Параметры параболы

Точка F(p/2, 0) называется фокусомпараболы, величина p – параметром, точка О(0, 0) – вершиной (рис. 9.15). При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

 

Рис. 9.15

Величина где M(x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = –p/2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетомпараболы.

Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 9.15).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 9.16):

а) б) в)

 

 

Рис. 9.16

 

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1.Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

1) 2)

Решение.1) Уравнение y² = –8x определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y²= –2px, находим: 2p = 8, p = 4, p/2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F(–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 9.17).

 

 

Рис. 9.17

 

2) Уравнение x² = –4y задает параболу с вершиной в точке O(0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x² = –2py, находим: 2p = 4, p = 2, p/2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F(0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 9.18).

 

 

 

Рис. 9.18

 

Пример 2.Определить параметры и вид кривой x² + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать рисунок.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x² + 8x – 16y – 32 = 0;

(x + 4)² – 16 – 16y – 32 = 0;

(x + 4)² – 16y – 48 = 0;

(x + 4)² – 16(y + 3) = 0.

В результате получим:

(x + 4)² = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх осью x = –4. Фокус находится в точке F(–4; –3 + p/2), т. е. F(–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p/2 или y = –7 (рис. 9.19).

 

Рис. 9.19

 

Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = –3 и точки F(0; 3).

Решение. Точка F(0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x² = 2py с параметром p = 2 × 3 = 6, т. е. x² = 12y (рис. 9.20).

 

Рис. 9.20

 

Пример 4.Составить уравнение параболы с вершиной в точке V(3; –2) и фокусом в точке F(1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p/2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Следовательно, искомое уравнение

(y + 2)² = –2 · 4(x – 3) или (y + 2)² = –8(x – 3).

Задания

 

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и постройте ее:

1) y² = 2x; 2) y² = –3x;

3) x² = 6y; 4) x² = –y.

 

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и параметр p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M(4; –2).

3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.

 

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

 

II уровень

2.1.Определите тип и параметры кривой:

1) x² – 8x + 2y + 18 = 0; 2) x = 2y² – 12y + 14.

Сделайте рисунок.

 

2.2. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 3x – 2y + 5 = 0 с осью ординат.

 

2.3. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке V(3, –2) и фокусом F(3; 0).

 

2.4. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке (–1; 1) и уравнением директрисы y – 1 = 0.

 

2.5. Составьте уравнение параболы с фокусом и директрисой

 

III уровень

3.1. Составьте уравнение параболы, проходящей через точки (–1; 1), (1; 3) и (31, 9).

3.2. Найдите расстояние от левого фокуса эллипса до прямой, проходящей через точки его пересечения с параболой y² = 12x.

 

3.3. Составьте полярное уравнение параболы, приняв ее вер­шину за полюс, а ее ось – за полярную ось.

 

3.4. Докажите, что множество точек, равноудаленных от точки и прямой есть парабола

 

3.5. Составьте параметрические уравнения параболы принимая в качестве параметра ординату у.

 

3.6. Определите уравнение кривой в прямоугольных координатах и постройте ее, если она задана параметрически с помощью уравнений