Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Параметры гиперболы





Точки F 1(–c, 0), F 2(c, 0), где называются фокусами гиперболы (рис. 9.10), при этом величина 2 с (с > a > 0) определяет междуфокусное расстояние. Точки А 1(– а, 0), А 2(а, 0) называются вершинами гиперболы, при этом отрезок А 1 А 2 = 2 а образует действительную ось гиперболы, а отрезок В 1 В 2 = 2 bмнимую ось (В 1(0, – b), B 2(0, b)), точка Оцентр гиперболы.

 
 

 


Рис. 9.10

 

Основные параметры гиперболы, характеризующие ее форму:

величина называется эксцентриситетомгиперболы, она характеризует меру «сжатости» гиперболы;

фокальные радиусыгиперболы (точка М принадлежит гиперболе), причем r 1 = a + εx, r 2 = – a + εx – для точек правой ветви гиперболы, r 1 = – (a + εx), r 2 = – (– a + εx) – для точек левой ветви;

директрисыгиперболы;

асимптоты гиперболы.

Для гиперболы справедливо: ε; > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством

Говорят, что уравнение

(9.12)

задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 9.11). Его можно записать также в виде

В таком случае отрезок В 1 В 2 образует действительную ось, а А 1 А 2 – мнимую, вершины находятся в точках В 1(0; – b) и B 2(0; b), фокусы – F 1(0; – c) и F 2(0; c), эксцентриситет уравнения директрис

 


Рис. 9.11

 

Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2 a (рис. 9.10) или 2 b (рис. 9.11).

Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-век­тором точки, лежащей на гиперболе, и положительным направлением оси Ox:

Пример 1. Привести уравнение гиперболы 9 x 2 – 16 y 2 = 144 к каноническому виду, найти ее параметры, угол между асимптотами, изобразить гиперболу.

Решение. Разделим левую и правую части заданного уравнения на 144: Из последнего уравнения непосредственно следует: a = 4, b = 3, c = 5, O (0, 0) – центр гиперболы. Фокусы находятся в точках F 1(–5, 0) и F 2(5, 0), эксцентриситет ε; = 5/4, директрисы D 1 и D 2 описываются уравнениями D 1: x = –16/5, D 2: x = 16/5, асимптоты l 1 и l 2 имеют уравнения

Сделаем рисунок: на координатных осях Ox и Oy симметрично относительно точки О (0, 0) отложим отрезки А 1 А 2 = 2 а = 8 и В 1 В 2 = 2 b = 6 соответственно (рис. 9.12). Через полученные точки А 1(–4, 0), А 2(4, 0), В 1(0, –3), В 2(0, 3) проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольник, диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы. Строим гиперболу.

 
 

 

 


Рис. 9.12

 

Для нахождения угла φ; между асимптотами гиперболы воспользуемся формулой

откуда получаем

Пример 2. Определить тип, параметры и расположение на плоскости кривой, уравнение которой

Решение. С помощью метода выделения полных квадратов упростим правую часть данного уравнения:

Получаем уравнение

которое делением на 30 приводится к виду

Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точке действительная полуось мнимая полуось (рис. 9.13).

 
 

 


Рис. 9.13

 

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, сопряженной относительно гиперболы определить ее параметры и сделать рисунок.

Решение. Уравнение гиперболы, сопряженной данной:

или

Действительная полуось b = 3, мнимая а = 4, половина междуфокусного расстояния Вершинами гиперболы служат точки B 1(0, –3) и В 2(0, 3); ее фокусы находятся в точках F 1(0, –5) и F 2(0, 5); эксцентриситет ε; = с / b = 5/3; директрисы D 1 и D 2 задаются уравнениями D 1: y = –9/5, D 2: y = 9/5; уравнения являются уравнениями асимптот (рис. 9.14).

 
 

 


Рис. 9.14

 

Заметим, что для сопряженных гипербол общими элементами являются «вспомогательный прямоугольник» и асимптоты.

 

Пример 4. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b (a > 0, b > 0), если известно, что ее главные оси параллельны координатным осям. Определить основные параметры гиперболы.

Решение. Искомое уравнение можно рассматривать как уравнение гиперболы которое получается в результате параллельного переноса заданной системы координат на вектор где (x 0, y 0) – центр гиперболы в «старой» системе координат. Тогда, используя соотношения между координатами произвольной точки М плоскости в заданной и преобразованной системах

получим уравнение гиперболы

Определим параметры. Центр гиперболы определяет точка O ¢(x 0; y 0), а значит, действительная ось задается уравнением у = у 0,а мнимая – уравнением х = х 0. Ее вершинами являются точки а асимптотами являются прямые . Половина междуфокусного расстояния Тогда фокусы гиперболы находятся в точках , эксцентриситет

Директрисы D 1 и D 2 задаются уравнениями:

или

Пример 5. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса , а фокусы – в вершинах этого эллипса.

Решение. Уравнение означает, что фокусами эллипса являются точки а вершины, лежащие на главной оси, находятся в точках (так как ).

Тогда для искомой гиперболы известно, что ее фокусы:

а вершины –

Значит, основные параметры гиперболы следующие:

.

Используя данную информацию, приходим к уравнению гиперболы:







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 1726. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия