Студопедия — Параметры гиперболы
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Параметры гиперболы






Точки F 1(–c, 0), F 2(c, 0), где называются фокусами гиперболы (рис. 9.10), при этом величина 2 с (с > a > 0) определяет междуфокусное расстояние. Точки А 1(– а, 0), А 2(а, 0) называются вершинами гиперболы, при этом отрезок А 1 А 2 = 2 а образует действительную ось гиперболы, а отрезок В 1 В 2 = 2 bмнимую ось (В 1(0, – b), B 2(0, b)), точка Оцентр гиперболы.

 
 

 


Рис. 9.10

 

Основные параметры гиперболы, характеризующие ее форму:

величина называется эксцентриситетомгиперболы, она характеризует меру «сжатости» гиперболы;

фокальные радиусыгиперболы (точка М принадлежит гиперболе), причем r 1 = a + εx, r 2 = – a + εx – для точек правой ветви гиперболы, r 1 = – (a + εx), r 2 = – (– a + εx) – для точек левой ветви;

директрисыгиперболы;

асимптоты гиперболы.

Для гиперболы справедливо: ε; > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством

Говорят, что уравнение

(9.12)

задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 9.11). Его можно записать также в виде

В таком случае отрезок В 1 В 2 образует действительную ось, а А 1 А 2 – мнимую, вершины находятся в точках В 1(0; – b) и B 2(0; b), фокусы – F 1(0; – c) и F 2(0; c), эксцентриситет уравнения директрис

 


Рис. 9.11

 

Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2 a (рис. 9.10) или 2 b (рис. 9.11).

Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-век­тором точки, лежащей на гиперболе, и положительным направлением оси Ox:

Пример 1. Привести уравнение гиперболы 9 x 2 – 16 y 2 = 144 к каноническому виду, найти ее параметры, угол между асимптотами, изобразить гиперболу.

Решение. Разделим левую и правую части заданного уравнения на 144: Из последнего уравнения непосредственно следует: a = 4, b = 3, c = 5, O (0, 0) – центр гиперболы. Фокусы находятся в точках F 1(–5, 0) и F 2(5, 0), эксцентриситет ε; = 5/4, директрисы D 1 и D 2 описываются уравнениями D 1: x = –16/5, D 2: x = 16/5, асимптоты l 1 и l 2 имеют уравнения

Сделаем рисунок: на координатных осях Ox и Oy симметрично относительно точки О (0, 0) отложим отрезки А 1 А 2 = 2 а = 8 и В 1 В 2 = 2 b = 6 соответственно (рис. 9.12). Через полученные точки А 1(–4, 0), А 2(4, 0), В 1(0, –3), В 2(0, 3) проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольник, диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы. Строим гиперболу.

 
 

 

 


Рис. 9.12

 

Для нахождения угла φ; между асимптотами гиперболы воспользуемся формулой

откуда получаем

Пример 2. Определить тип, параметры и расположение на плоскости кривой, уравнение которой

Решение. С помощью метода выделения полных квадратов упростим правую часть данного уравнения:

Получаем уравнение

которое делением на 30 приводится к виду

Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точке действительная полуось мнимая полуось (рис. 9.13).

 
 

 


Рис. 9.13

 

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, сопряженной относительно гиперболы определить ее параметры и сделать рисунок.

Решение. Уравнение гиперболы, сопряженной данной:

или

Действительная полуось b = 3, мнимая а = 4, половина междуфокусного расстояния Вершинами гиперболы служат точки B 1(0, –3) и В 2(0, 3); ее фокусы находятся в точках F 1(0, –5) и F 2(0, 5); эксцентриситет ε; = с / b = 5/3; директрисы D 1 и D 2 задаются уравнениями D 1: y = –9/5, D 2: y = 9/5; уравнения являются уравнениями асимптот (рис. 9.14).

 
 

 


Рис. 9.14

 

Заметим, что для сопряженных гипербол общими элементами являются «вспомогательный прямоугольник» и асимптоты.

 

Пример 4. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b (a > 0, b > 0), если известно, что ее главные оси параллельны координатным осям. Определить основные параметры гиперболы.

Решение. Искомое уравнение можно рассматривать как уравнение гиперболы которое получается в результате параллельного переноса заданной системы координат на вектор где (x 0, y 0) – центр гиперболы в «старой» системе координат. Тогда, используя соотношения между координатами произвольной точки М плоскости в заданной и преобразованной системах

получим уравнение гиперболы

Определим параметры. Центр гиперболы определяет точка O ¢(x 0; y 0), а значит, действительная ось задается уравнением у = у 0,а мнимая – уравнением х = х 0. Ее вершинами являются точки а асимптотами являются прямые . Половина междуфокусного расстояния Тогда фокусы гиперболы находятся в точках , эксцентриситет

Директрисы D 1 и D 2 задаются уравнениями:

или

Пример 5. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса , а фокусы – в вершинах этого эллипса.

Решение. Уравнение означает, что фокусами эллипса являются точки а вершины, лежащие на главной оси, находятся в точках (так как ).

Тогда для искомой гиперболы известно, что ее фокусы:

а вершины –

Значит, основные параметры гиперболы следующие:

.

Используя данную информацию, приходим к уравнению гиперболы:







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 1659. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия