Параметры гиперболы
Точки F 1(–c, 0), F 2(c, 0), где
Рис. 9.10
Основные параметры гиперболы, характеризующие ее форму: величина
Для гиперболы справедливо: ε; > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством Говорят, что уравнение
задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 9.11). Его можно записать также в виде В таком случае отрезок В 1 В 2 образует действительную ось, а А 1 А 2 – мнимую, вершины находятся в точках В 1(0; – b) и B 2(0; b), фокусы – F 1(0; – c) и F 2(0; c), эксцентриситет
Рис. 9.11
Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2 a (рис. 9.10) или 2 b (рис. 9.11). Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на гиперболе, и положительным направлением оси Ox: Пример 1. Привести уравнение гиперболы 9 x 2 – 16 y 2 = 144 к каноническому виду, найти ее параметры, угол между асимптотами, изобразить гиперболу. Решение. Разделим левую и правую части заданного уравнения на 144: Сделаем рисунок: на координатных осях Ox и Oy симметрично относительно точки О (0, 0) отложим отрезки А 1 А 2 = 2 а = 8 и В 1 В 2 = 2 b = 6 соответственно (рис. 9.12). Через полученные точки А 1(–4, 0), А 2(4, 0), В 1(0, –3), В 2(0, 3) проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольник, диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы. Строим гиперболу.
Рис. 9.12
Для нахождения угла φ; между асимптотами гиперболы воспользуемся формулой откуда получаем Пример 2. Определить тип, параметры и расположение на плоскости кривой, уравнение которой Решение. С помощью метода выделения полных квадратов упростим правую часть данного уравнения: Получаем уравнение которое делением на 30 приводится к виду Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точке
Рис. 9.13
Пример 3. Составить уравнение гиперболы, сопряженной относительно гиперболы Решение. Уравнение гиперболы, сопряженной данной:
Действительная полуось b = 3, мнимая а = 4, половина междуфокусного расстояния
Рис. 9.14
Заметим, что для сопряженных гипербол общими элементами являются «вспомогательный прямоугольник» и асимптоты.
Пример 4. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b (a > 0, b > 0), если известно, что ее главные оси параллельны координатным осям. Определить основные параметры гиперболы. Решение. Искомое уравнение можно рассматривать как уравнение гиперболы получим уравнение гиперболы Определим параметры. Центр гиперболы определяет точка O ¢(x 0; y 0), а значит, действительная ось задается уравнением у = у 0,а мнимая – уравнением х = х 0. Ее вершинами являются точки Директрисы D 1 и D 2 задаются уравнениями:
Пример 5. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса Решение. Уравнение Тогда для искомой гиперболы известно, что ее фокусы: а вершины – Значит, основные параметры гиперболы следующие:
Используя данную информацию, приходим к уравнению гиперболы:
|