Студопедия — Прямая на плоскости
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Прямая на плоскости






АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

 

 

Рассмотрим различные случаи задания прямой L на плоскости.

1. Если задан ненулевой направляющий вектор и радиус-вектор некоторой фиксированной точки то в этом случае радиус-вектор произвольной точки задается формулой

(9.1)

где

Уравнение (9.1) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.

2. Если – координаты точки которая лежит на прямой L, (l, m) – координаты направляющего вектора то прямая задается параметрическими уравнениями:

3. Если – направляющий вектор, такой, что и – точка, через которую проходит прямая, то имеем каноническое уравнение:

(9.2)

4. Если прямая L не параллельна оси Ox, то для всех направляющих векторов отношение По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:

– это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М 0.

В случае, если – точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано в следующем виде:

5. Координаты направляющего вектора прямой L могут быть найдены, если известны две точки и этой прямой: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(9.3)

6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M 0(a, 0) и M 1(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:

7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан ненулевой нормальный вектор этой прямой и точка Условие перпендикулярности векторов позволяет перейти к векторному уравнению

и затем к его координатной форме:

или

(9.4)

где

Уравнение (9.4) называется общим уравнением прямой L.

8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор направленный из начала координат в сторону прямой, т. е.

то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:

где – расстояние от начала координат до прямой.

Величина δ;(M 0, L) = x 0cos α; + y 0cos β; – p, где называется отклонением точки М 0 от прямой L. При этом δ; < 0, если точки M 0 и O (0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ; > 0 – если по разные. Расстояние d (M 0, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.

От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель:

где

Расстояние от точки M 0(x 0, y 0) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле

(9.5)

Угол между прямыми легко найти с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле

где k 1 и k 2 – угловые коэффициенты прямых.

При этом возможны частные случаи:

Здесь L 1 и L 2 – прямые на плоскости, для которых – угловые коэффициенты соответственно прямых и

В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид

ρ;cos(φφ;0) = p,

где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ;0 – угол между полярной осью и перпендикуляром.

 

Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A (1, 2), B (–1, –3), C (2, –1). Найти:

1) уравнение прямой BC;

2) уравнение высоты AH и ее длину;

3) уравнение медианы BM;

4) угол между прямыми BM и AH;

5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине А.

Решение. 1) Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой (9.3), проходящей через две заданные точки. Так как B (–1, –3), C (2, –1), имеем:

Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции:

2(x + 1) = 3(y + 3) или 2 x – 3 y – 7 = 0.

Таким образом, окончательно получаем:

ВС: 2 x – 3 y – 7 = 0.

2) Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является , т. е. Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой АН. Следовательно, каноническое уравнение прямой AH согласно формуле (9.2) имеет вид:

(9.6)

где А (1, 2) АН.

В общем виде получим АН: 3 х + 2 у – 7 = 0.

Чтобы найти длину высоты АВС, опущенной из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (9.5):

3) Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:

Получим M (3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B (–1, –3) и используя формулу (9.3):

Приведя его к общему уравнению, получим:

ВМ: 7x – 5 y – 8 = 0.

4) Угол φ; между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами:

Получаем

5) Пусть точка M (x, y) лежит на биссектрисе угла BАС. Тогда по свойству биссектрисы d (M, AB) = d (M, AC). Запишем уравнения прямых АВ и АС. Имеем:

Следовательно,

Аналогично

т. е.

Используем формулу расстояния (9.5):

Следовательно,

По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем:

Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):

 

Пример 2. Даны две точки A (–3, 8) и B (2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей.

Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьший путь между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB ¢ (рис. 9.1) с осью Ox, где B ¢ – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой A ¢ B с осью Ox, где A ¢ – точка, симметричная точке А относительно оси Ox).

 
 

 

 


Рис. 9.1

 

Точки B ¢(2, –2) и A (–3, 8) определяют прямую A B ¢:

т. е. или

Значит, для нахождения координат искомой точки М осталось решить систему уравнений:

Решаем ее:

Итак, точка М (1, 0) является искомой.

 







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 797. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Тема: Составление цепи питания Цель: расширить знания о биотических факторах среды. Оборудование:гербарные растения...

В эволюции растений и животных. Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений. Оборудование: гербарные растения, чучела хордовых (рыб, земноводных, птиц, пресмыкающихся, млекопитающих), коллекции насекомых, влажные препараты паразитических червей, мох, хвощ, папоротник...

Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия