Прямая на плоскости
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим различные случаи задания прямой L на плоскости. 1. Если задан ненулевой направляющий вектор
где Уравнение (9.1) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L. 2. Если
3. Если
4. Если прямая L не параллельна оси Ox, то для всех направляющих векторов отношение
В случае, если
5. Координаты направляющего вектора
6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M 0(a, 0) и M 1(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:
7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан ненулевой нормальный вектор
и затем к его координатной форме:
где Уравнение (9.4) называется общим уравнением прямой L. 8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор
то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:
где Величина δ;(M 0, L) = x 0cos α; + y 0cos β; – p, где От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель:
Расстояние от точки M 0(x 0, y 0) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле
Угол между прямыми легко найти с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле
где k 1 и k 2 – угловые коэффициенты прямых. При этом возможны частные случаи:
Здесь L 1 и L 2 – прямые на плоскости, для которых В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид ρ;cos(φ – φ;0) = p, где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ;0 – угол между полярной осью и перпендикуляром.
Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A (1, 2), B (–1, –3), C (2, –1). Найти: 1) уравнение прямой BC; 2) уравнение высоты AH и ее длину; 3) уравнение медианы BM; 4) угол между прямыми BM и AH; 5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине А. Решение. 1) Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой (9.3), проходящей через две заданные точки. Так как B (–1, –3), C (2, –1), имеем:
Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции: 2(x + 1) = 3(y + 3) или 2 x – 3 y – 7 = 0. Таким образом, окончательно получаем: ВС: 2 x – 3 y – 7 = 0. 2) Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является
где А (1, 2) В общем виде получим АН: 3 х + 2 у – 7 = 0. Чтобы найти длину высоты
3) Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:
Получим M (3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B (–1, –3) и
Приведя его к общему уравнению, получим:
ВМ: 7x – 5 y – 8 = 0. 4) Угол φ; между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами:
Получаем 5) Пусть точка M (x, y) лежит на биссектрисе угла BАС. Тогда по свойству биссектрисы d (M, AB) = d (M, AC). Запишем уравнения прямых АВ и АС. Имеем:
Следовательно,
Аналогично
Используем формулу расстояния (9.5):
Следовательно,
По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем:
Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):
Пример 2. Даны две точки A (–3, 8) и B (2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей. Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьший путь между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB ¢ (рис. 9.1) с осью Ox, где B ¢ – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой A ¢ B с осью Ox, где A ¢ – точка, симметричная точке А относительно оси Ox).
Рис. 9.1
Точки B ¢(2, –2) и A (–3, 8) определяют прямую A B ¢:
Значит, для нахождения координат искомой точки М осталось решить систему уравнений: Решаем ее:
Итак, точка М (1, 0) является искомой.
|
и радиус-вектор 
некоторой фиксированной точки 
то в этом случае радиус-вектор 
произвольной точки 
задается формулой
(9.1)
– координаты точки 
которая лежит на прямой L, (l, m) – координаты направляющего вектора 
то прямая задается параметрическими уравнениями:
– направляющий вектор, такой, что 
и 
– точка, через которую проходит прямая, то имеем каноническое уравнение:
(9.2)
По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке 
уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:
– это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М 0.
– точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано в следующем виде:
прямой L могут быть найдены, если известны две точки 
и 
этой прямой: 
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
(9.3)
этой прямой и точка 
Условие перпендикулярности векторов 
позволяет перейти к векторному уравнению
или
(9.4)
направленный из начала координат в сторону прямой, т. е.
– расстояние от начала координат до прямой.
называется отклонением точки М 0 от прямой L. При этом δ; < 0, если точки M 0 и O (0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ; > 0 – если по разные. Расстояние d (M 0, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.
где 
(9.5)
– угловые коэффициенты соответственно прямых 
и 
, т. е. 
Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой АН. Следовательно, каноническое уравнение прямой AH согласно формуле (9.2) имеет вид:
(9.6)
АН.
АВС, опущенной из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (9.5):
используя формулу (9.3):
т. е. 
т. е. 
или 
