Параметры эллипса

Точки F ₁(– c, 0) и F ₂(c, 0), где называются фокусами эллипса, при этом величина 2 c определяет междуфокусное расстояние.

Точки А ₁(– а, 0), А ₂(а, 0), В ₁(0, – b), B ₂(0, b) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А ₁ А ₂ = 2 а образует большую ось эллипса, а В ₁ В ₂ – малую, – центр эллипса.

Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

ε; = с / a – эксцентриситет эллипса;

– фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r ₁ = a + εx, r ₂ = a – εx;

– директрисы эллипса.

 

Рис. 9.2

 

Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством

Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».

Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие

. (9.9)

Тогда 2 а – малая ось, 2 b – большая ось, – фокусы (рис. 9.3). При этом r ₁ + r ₂ = 2 b,
ε; = c / b, директрисы определяются уравнениями:

 

Рис. 9.3

При условии имеем (в виде частного случая эллипса) окружность радиуса R = a. При этом с = 0, а значит, ε; = 0.

Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2 а (рис. 9.2).

Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox:

где

Если центр эллипса с полуосями находится в точке то его уравнение имеет вид:

(9.10)

 

Пример 1. Привести уравнение эллипса x ² + 4 y ² = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс.

Решение. Разделим уравнение x ² + 4 y ² = 16 на 16, после чего получим:

По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A ₁(–4, 0), A ₂(4, 0), B ₁(0, –2), B ₂(0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точки являются фокусами эллипса. Вычислим эксцентриситет:

Директрисы D ₁, D ₂ описываются уравнениями:

Изображаем эллипс (рис. 9.4).

 

Рис. 9.4

 

Пример 2. Определить параметры эллипса

Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса со смещенным центром. Находим центр эллипса С: Большая полуось малая полуось прямые – главные оси. Половина междуфокусного расстояния а значит, фокусы Эксцентриситет Директрисы D ₁ и D ₂ могут быть описаны с помощью уравнений: (рис. 9.5).

 

 

Рис. 9.5

Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:

1) x ² + y ² + 4 x – 2 y + 4 = 0; 2) x ² + y ² + 4 x – 2 y + 6 = 0;

3) x ² + 4 y ² – 2 x + 16 y + 1 = 0; 4) x ² + 4 y ² – 2 x + 16 y + 17 = 0;

5)

Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена:

x ² + y ² + 4 x – 2 y + 4 = 0;

(x ² + 4 x) + (y ² – 2 y) + 4 = 0;

(x ² + 4 x + 4) – 4 + (y ² – 2 y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2)² + (y – 1)² = 1.

Таким образом, уравнение может быть приведено к виду

(x + 2)² + (y – 1)² = 1.

Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).

 

Рис. 9.6

 

2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем:

(x + 2)² + (y – 1)² = –1.

Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y, а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости.

3) Выделяем полные квадраты:

x ² + 4 y ² – 2 x + 16 y + 1 = 0;

(x ² – 2 x + 1) – 1 + 4(y ² + 4 y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1)² + 4(y + 2)² – 16 = 0;

(x – 1)² + 4(y + 2)² = 16.

Значит, уравнение имеет вид:

или

Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О ₁(1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).

 

 

Рис. 9.7

 

4) После выделения полных квадратов имеем:

(x – 1)² + 4(y + 2)² – 17 + 17 = 0 или (x – 1)² + 4(y + 2)² = 0.

Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).

5) Приведем уравнение к каноническому виду:

Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке главные оси задаются уравнениями причем большая полуось малая полуось (рис. 9.8).

 

 

Рис. 9.8

 

Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x ² + 4 y ² = 4 в точке пересечения с осью ординат.

Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7):

Значит, и правый фокус – Поэтому, искомое уравнение окружности радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):

Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:

Получаем:

Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т ₁ и Т ₂. По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть Тогда уравнение касательной Т ₁ примет вид:

значит, или Т ₁:

Тогда уравнение касательной Т ₂ примет вид:

значит, или Т ₂:

 

Рис. 9.9

Пример 5. Записать уравнение окружности, проходящей через точку М (1, –2) и точки пересечения прямой x – 7 y + 10 = 0 с окружностью x ² + y ² – 2 x + 4 y – 20 = 0.

Решение. Найдем точки пересечения прямой x – 7 y + 10 = 0 с окружностью x ² + y ² – 2 x + 4 y – 20 = 0, решив систему уравнений:

Выразим х из первого уравнения системы:

x = 7 y – 10.

Затем подставим во второе:

(7 y – 10)² + y ² – 2(7 y – 10) + 4 y – 20 = 0.

Оно равносильно уравнению

y ² – 3 y + 2 = 0.

Используя формулы корней квадратного уравнения, найдем y ₁ = 1, y ₂ = 2, откуда x ₁ = –3, x ₂ = 4.

Итак, имеем три точки, лежащие на окружности: M (1, –2), M ₁(4, 2) и M ₂(–3, 1). Пусть О ₁(x ₀, y ₀) – центр окружности. Тогда где R – радиус окружности.

Найдем координаты векторов:

Значит,

что равносильно системе

Упрощаем ее:

Решая последнюю систему, получаем ответ:

Таким образом, центр окружности находится в точке (0,5; 1,5), ее радиус

Тогда каноническое уравнение искомой окружности имеет вид: