Параметры эллипсаТочки F1(–c, 0) и F2(c, 0), где Точки А1(–а, 0), А2(а, 0), В1(0, –b), B2(0, b) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А1А2 = 2а образует большую ось эллипса, а В1В2 – малую, Основные параметры эллипса, характеризующие его форму: ε = с/a – эксцентриситет эллипса;
Рис. 9.2
Для эллипса справедливо: Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости». Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие
Тогда 2а – малая ось, 2b – большая ось,
Рис. 9.3 При условии Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2). Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox: где Если центр эллипса с полуосями
Пример 1. Привести уравнение эллипса x2 + 4y2 = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс. Решение. Разделим уравнение x2 + 4y2 = 16 на 16, после чего получим: По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A1(–4, 0), A2(4, 0), B1(0, –2), B2(0, 2). Так как Директрисы D1, D2 описываются уравнениями: Изображаем эллипс (рис. 9.4).
Рис. 9.4
Пример 2. Определить параметры эллипса Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса
Рис. 9.5 Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее: 1) x2 + y2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x2 + y2 + 4x – 2y + 6 = 0; 3) x2 + 4y2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x2 + 4y2 – 2x + 16y + 17 = 0; 5) Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена: x2 + y2 + 4x – 2y + 4 = 0; (x2 + 4x) + (y2 – 2y) + 4 = 0; (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0; (x + 2)2 + (y – 1)2 = 1. Таким образом, уравнение может быть приведено к виду (x + 2)2 + (y – 1)2 = 1. Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).
Рис. 9.6
2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем: (x + 2)2 + (y – 1)2 = –1. Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y, а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости. 3) Выделяем полные квадраты: x2 + 4y2 – 2x + 16y + 1 = 0; (x2 – 2x + 1) – 1 + 4(y2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0; (x – 1)2 + 4(y + 2)2 – 16 = 0; (x – 1)2 + 4(y + 2)2 = 16. Значит, уравнение имеет вид:
Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О1(1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).
Рис. 9.7
4) После выделения полных квадратов имеем: (x – 1)2 + 4(y + 2)2 – 17 + 17 = 0 или (x – 1)2 + 4(y + 2)2 = 0. Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2). 5) Приведем уравнение к каноническому виду: Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке
Рис. 9.8
Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x2 + 4y2 = 4 в точке пересечения с осью ординат. Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7): Значит, Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений: Получаем: Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т1 и Т2. По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Пусть
Рис. 9.9 Пример 5. Записать уравнение окружности, проходящей через точку М(1, –2) и точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0. Решение. Найдем точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0, решив систему уравнений: Выразим х из первого уравнения системы: x = 7y – 10. Затем подставим во второе: (7y – 10)2 + y2 – 2(7y – 10) + 4y – 20 = 0. Оно равносильно уравнению y2 – 3y + 2 = 0. Используя формулы корней квадратного уравнения, найдем y1 = 1, y2 = 2, откуда x1 = –3, x2 = 4. Итак, имеем три точки, лежащие на окружности: M(1, –2), M1(4, 2) и M2(–3, 1). Пусть О1(x0, y0) – центр окружности. Тогда Найдем координаты векторов: Значит, что равносильно системе Упрощаем ее: Решая последнюю систему, получаем ответ: Таким образом, центр окружности находится в точке (0,5; 1,5), ее радиус Тогда каноническое уравнение искомой окружности имеет вид:
Рекомендуемые страницы: |