Как построить гиперболу?

Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.

Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:

1) Прежде всего, находим асимптоты. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.

2) Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины

3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает 2-3-х. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-ой координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса. Из канонического уравнения на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.

Напрашивается нахождение точек с абсциссами :

4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:

Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.

Отрезок называют действительной осью гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число называют действительной полуосью гиперболы;
число – мнимой полуосью.

В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся.