Динамические характеристики структурных звеньев

Переходной функцией звена направленного действия называют изменение во времени выходного сигнала звена при ступенчатом изменении входной переменной в виде единичной функции 1(t) (рис.1):

 

Рис.1

График переходной функции наглядно, с физической точки зрения, показывает, какие изменения претерпевает входной ступенчато изменяющийся сигнал при прохождении через динамическое звено.

Операторным коэффициентом передачи илиоператорной передаточной функцией называют отношение операторного изображения выходного сигнала к операторному изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях:

. (5)

Операторная передаточная функция динамического звена представляет собой аналитическое выражение переходной функции в операторной форме: .

Переходная функция апериодического звена 1-го порядка может быть получена из решения дифференциального уравнения (1) c входной переменной в виде единичной функции :

Переходная функция апериодического звена 1-го порядка в имеет следующий вид:

. (6)

График переходной функции показан на рис.1,б. Он представляет собой экспоненциальную зависимость нарастания выходной переменной при ступенчатом изменении входной. Наибольшая скорость нарастания выходного сигнала имеет место в начале процесса и определяется отношением . Длительность изменения выходной переменной апериодического звена до установившегося уровня считают равной t =3 Т. При этом выходная переменная достигает установившегося уровня на 95%.

Операторная передаточная функция апериодического звена 1-го порядка определяется из уравнения (1) звена в операторной форме:

.

В соответствии с выражением (5) она имеет следующий вид:

. (7)

Свойствами апериодического звена 1-го порядка обладают электрические цепи, составленные из конденсатора и резистора или индуктивной катушки и резистора (рис.2,а, б).

Переходные процессы, протекающие в электрической R-C цепи при подаче на вход напряжения в результате замыкания

коммутатора K, характеризуются следующим дифференциальным уравнением:

.

Полученное дифференциальное уравнение соответствует уравнению (1) апериодического звена 1-го порядка. Из сопоставления коэффициентов при переменных в уравнениях следует, что коэффициент усиления цепи K =1, а постоянная времени определяется формулой:

T=RC. (8)

.

 

Рис.2

Передача сигнала в электрической цепи, составленной из индуктивной катушки и резистора характеризуется дифференциальным уравнением:

или: .

Выходным сигналом такой цепи является падение напряжения на сопротивлении резистора R. Коэффициент усиления цепи с индуктивной катушкой K =1, постоянная времени определяется формулой:

, (9)

 

Переходная функция колебательного звена второго порядка, полученная из решения дифференциального уравнения (2) звена при входном сигнале в виде единичной функции, имеет вид:

. (10)

Здесь - начальная фаза гармонической функции.

Графики переходной функции колебательного звена для коэффициентов относительного затухания: n =0,2; 0,5; 1 показаны на рис.3.

Рис.3

Из рисунка видно, что колебательность переходной функции зависит от коэффициента затухания. При n =0,5 колебательный характер переходной функции близок к апериодическому, а при n =1 переходная функция становится монотонной.

Уравнение колебательного звена 2-го порядка в операторной форме получено из дифференциального уравнения (2) звена:

.

Отсюда операторная передаточная функция колебательного звена 2-го порядка имеет следующий вид:

. (11)

Свойствами колебательного звена 2-го порядка обладает электрическая цепь составленная из конденсатора емкостью С, катушки с индуктивностью L и резистора с сопротивлением R (рис.4).

Рис.4. Схема колебательного звена 2-го порядка

 

Уравнение равновесия напряжений для этой цепи имеетследующий вид:

.

Ток, протекающий по конденсатору, связан с напряжением конденсатора соотношением: . После подстановки этого выражения в уравнение цепи получено уравнение, идентичное каноническому уравнению (2) колебательного звена 2-го порядка.

. (12)

Из сопоставления уравнений (2) и (12) параметры колебательного звена определяется следующими формулами:

постоянная времени - , (13)

частота свободных колебаний - , (14)

коэффициент относительного затухания - , (15)

коэффициент усиления - К =1.