Вопрос 30. Регрессионный анализ результатов моделирования.

Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученных в ходе машинного эксперимента с системой S. Под наилучшим соответствием понимается минимизированная функция ошибки, являющаяся разностью между прогнозируемой моделью и данными эксперимента. Такой функцией ошибки при регрессионном анализе служит сумма квадратов ошибок.

Пример: Рассмотрим особенности регрессионного анализа результатов моделирования при построении линейной регрессионной модели. На рис. 2, а показаны точки xi, yi, , полученные в машинном эксперименте. Mм системы S. Делаем предположение, что модель результатов машинного эксперимента графически может быть представлена в виде прямой линии ,

где y - величина, предсказываемая регрессионной моделью.

Рис. 2 Построение линейной регрессионной модели

 

Требуется получить такие значения коэффициентов b0 и b1 при которых сумма квадратов ошибок модели является минимальной. На рисунке ошибка ei, , для каждой экспериментальной точки определяется как расстояние по вертикали от этой точки до линии регрессии y .

Обозначим , . Тогда выражение для ошибок будет иметь вид: , а функция ошибки .

Для получения b0 и b1, при которых функция F0 является минимальной, применяются обычные методы математического анализа. Условием минимума является .

Дифференцируя F, получаем

Решая систему этих двух линейных алгебраических уравнений, можно получить значения b0 и b1. В матричном представлении эти уравнения имеют вид:

.

Решая это уравнение получаем

,

,

где N — число реализаций при моделировании системы.

Соотношения для вычисления b0 и b1 требуют минимального объема памяти ЭВМ для обработки результатов моделирования. Обычно мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратичное отклонение

.

Для нормально распределенных процессов приблизительно 67 % точек находится в пределах одного отклонения σе от линии регрессии и 95 % в - пределах 2 σе(трубки А и B соответственно на рис. 2, б). Для проверки точности оценок b0и b1, в регрессионной модели могут быть использованы, например, критерии Фишера (F-распределение) и Стьюдента (t-распределение). Аналогично могут быть оценены коэффициенты уравнения регрессии и для случая нелинейной аппроксимации.