Выравнивание по параболе.
Пусть точки Мi(xi, yi), соответствующее парам чисел таблицы 1, группируются вблизи некоторой параболы (рис 2).
рис 2. В этом случае между переменными Х и У существует функциональная зависимость, которую будем искать в виде:
Найдем параметры a, b и c с таким расчетом, чтобы парабола заданная уравнением (1.7) «наилучшим образом» проходила через множество точек Мi(xi, yi), т.е чтобы сумма квадратов отклонений теоретических ординат точек от эмпирических была наименьшей. Составим эту сумму:
Найдем частные производные по переменным a, b, и c, приравняем их к нулю, преобразуем полученные уравнения и получим следующую систему уравнений:
Система уравнений (1.9) называется нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по параболе. Решив систему уравнений, найдем параметры a, b, c и подставим их значения в уравнение (1.7). Получим искомую эмпирическую функцию. Замечание I. Число уравнений нормальной системы уравнений (1.6) и (I..9) метода наименьших квадратов соответствует числу искомых параметров. Замечание 2. Между переменными х и у, заданными таблицей, существуют зависимости, близкие, например, к показательной функции вида у= аbx или lgy, lga+xlgb; к функции y=a/x+b (уравнение гиперболы) и др.
|
(1.7)
(1.8)
(1.9)
