Уравнения движения идеальной жидкости Эйлера

 

Идеальной жидкости, лишенной свойства вязкости, в природе не существует. Опыт показывает, однако, что при обтекании некоторых тел маловязкой жидкостью (такой, как вода, воздух) торможение из-за вязкого трения охватывает лишь тонкий пристенный слой. За пределами этого слоя вязкость оказывает пренебрежимо малое влияние на распределение скоростей и давлений. Поэтому для изучения внешнего потока возможно использовать методы динамики идеальной жидкости, что существенно упрощает задачу по сравнению с динамикой вязкой жидкости. Пренебрежение вязкостью помогает также решать в первом приближении задачи одномерного течения.

А. Вывод уравнений. Уравнения гидродинамики Эйлера выражают в применении к жидкой частице второй закон Ньютона: «Произведение массы частицы на ускорение равно действующей силе», т.е.

. (II.8)

Здесь – производная вектора скорости по времени, или ускорение; – сумма сил, действующих на частицу массы m.

Применим второй закон Ньютона к частице жидкости в форме параллелепипеда с малыми ребрами dx, dy, dz (см. рис. 7). Рассмотрим проекции записанного выше векторного равенства на координатные оси, причем начнем с проекции на ось x:

.

Здесь u_x и f_x – составляющие скорости и силы по оси x. Масса m равна произведению плотности ρ на объем частицы, или ρdxdydz.

К силам, действующим на частицу, относится разность давлений на грани, перпендикулярные оси x. Если давление у левой грани (см. рис. 7) равно p, то у правой грани (учтено возможное изменение давления вдоль оси x), то разность проекций сил давления на ось составит

.

Кроме силы давления частица может испытывать действие в направлении оси x внешних объемных сил (например, силы тяжести или инерции). Если проекцию ускорения, создаваемого внешними силами в направлении оси х, обозначить через X, м/сек² (см. п.2.1), то сама сила окажется равна произведению ускорения на массу частицы, т.е. Хρdxdydz, н (или кгс). Подставляя полученные величины в уравнение (II.8) и пользуясь аналогичными рассуждениями для проекций ускорений и сил на координатные оси y и z, получим систему дифференциальных уравнений гидродинамики Эйлера:

(II.9)

Здесь Y, Z – проекции ускорений объемных сил на оси y, z.

Дифференциальные уравнения Эйлера показывают, что ускорение частиц (левые части записанных уравнений) обусловлено перепадом давления (первые члены правых частей) и действием внешних объемных сил. В реальной жидкости, если скорости распределены неравномерно, возникают еще касательные напряжения вследствие вязкости, которые мы не учитывали при выводе уравнений движения идеальной жидкости.

Если из внешних сил на движущуюся жидкость действует только сила тяжести с ускорением g, представляется целесообразным выбрать систему координат так: плоскость ху расположить горизонтально, а ось z направить вертикально вверх. Тогда уравнения Эйлера примут вид:

(II.9а)

Уравнения Эйлера (II.9) совместно с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости (II.7) образуют систему четырех уравнений, содержащую четыре неизвестных: w_x, w_y, w_z, p. В случае сжимаемой жидкости (газа) к уравнениям Эйлера и неразрывности необходимо добавить еще уравнение, дающее связь между давлением и плотностью жидкости:

.

Интегрируя полученную замкнутую систему уравнений при за/-данных граничных и начальных условиях, можно в принципе определить вектор скорости и давление в любой точке потока и в любой момент времени.

Б. Граничные и начальные условия. Граничные условия при обтекании тела задают распределение скоростей вдали от тела, где не сказывается его искажающее влияние на поток, и на поверхности тела. Согласно принципу относительности движения, известному из механики, задача о движении тела в неподвижной жидкости (например, самолета, корабля) в динамическом отношении тождественна задаче об обтекании неподвижного тела равномерным потоком. Поэтому гидромеханика широко использует принцип «обращения движения». Граничные условия для обращенной задачи о движении тела в неподвижной жидкости обычно задаются следующим образом:

1. Условия «на бесконечности». В удалении от_обтекаемого тела задаются давление , направление и скорость обтекающего потока.

2. Условие «непроницаемости». Пусть n – нормаль к поверхности обтекаемого тела. Если жидкость через поверхность не протекает, то нормальная составляющая скорости равна нулю: w_n = 0, и скорость течения на поверхности тела может быть только касательной к ней.

Начальные условия характеризуют состояние потока в некоторый конкретный момент. При установившемся движении скорость и давление в данной тючке не меняются во времени и начальные условия не задаются.

В общем случае пространственного (трехмерного) потока, когда скорость изменяется в направлении всех трех координатных осей, интегрирование системы уравнений движения и неразрывности встречает чрезвычайные математические трудности. Поэтому задача решается при внесении различных упрощающих предположений. Наиболее полно разработана теория одномерного движения. Для несжимаемой жидкости эта теория составляет основу гидравлики.

При одномерном течении граничные условия задают величины скорости и давления на сечениях, ограничивающих заданный участок струйки (потока).