Ранг матрицы.

Рассмотрим k столбцов и k строк матрицы, выбранных произвольно. Из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Этот определитель называется минором матрицы.

Часть миноров может обращаться в нуль.

Определение. Наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

Для отыскания ранга матрицы вводят понятия элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на число, неравное нулю.
2. Сложение строк.
3. Перестановка строк.
4. То же для столбцов.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

На основании этой теоремы матрица приводится к виду:

Звездочкой обозначены элементы, значения которых для нас безразличны.

Отсюда видно, что Rg A = r.

П р и м е р.Определить ранг матрицы.

(2)-(1)∙2 (2)∙(-1) (3)-(2)∙5 (3):(-18)

(3)-(1)∙3 (3)∙(-1)

RgA = 3

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Если число уравнений равно числу неизвестных (m = n), то система имеет единственное решение, когда определитель системы ∆ ≠ 0. Если ∆ = 0, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений вообще.

Выясним условие совместности системы. Рассмотрим матрицу

Теорема Кронекера–Капелли. Система (1) имеет хотя бы одно решение в том и только том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

П р и м е р ы. Проверить, будет ли совместна система и в случае совместности решить.

1. x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 7x₄ + 9x₅ = 1,
x₁ – 2x₂ + 3x₃ – 4 x₄ + 5x₅ = 2,
2x₁ +11x₂ + 12x₃ + 25x₄ + 22x₅ = 4.

(2) - (1) (3) + (2)

(3) – (1)∙2

RgA = 2, RgĂ = 3, система не совместна.

2. 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 10,
x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 14,
x₁ + x₂ + x₃ = 6,
2x₁ + 3x₂ – x₃ = 5,
x₁ + x₂ = 3.

(2) – (1)∙ 3 (2):(-4) (3) + (4)
(3) – (1)
(4) – (1)∙2
(5) – (1)

(4): (-3) (3) + (4)
(3)→(5)

Запишем получившуюся систему.

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 14, x₃ = 3, x₂ = 8 – 2x₃ = 2, x₁ = 14 – 2x₂ – 3x₃ = 14- 4 -6 = 1

x₂ + 2x₃ = 8,
x₃ = 3.

 

3. 2x₁ + x₂ – x₃ = 5
x₁ – 2x₂ + 2x₃ = -5
7x₁ + x₂ – x₃ = 10.

 

 

x₁ – 2x ₂ + 2x₃ = -5, x₂ = 3 + x₃,
x₂ - x₃ = 3. x₁ = -5 + 2x₂ – 2x₃ = -5 + 6 + 2x₃ – 3x₃ = 1.

Ответ (1; 3 + х₃; х₃) – бесконечное множество решений (ранг матриц равен двум, а число неизвестных равно трем, т.е. число неизвестных больше ранга матрицы).