Принцип взаимности

 

Принцип взаимности

Из принципа наложения следует, что ток в “ к ”-ой ветви можно определить как алгебраическую сумму токов, вызванных каждым источником в отдельности:

.

В этом выражении g_kk – входная проводимость “ к ”-ой ветви. Она определяется отношением тока в этой ветви к ЭДС в той же ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях, т.е.:

.

Если стрелки ЭДС и тока в этой ветви направлены одинаково, то >0.

g_km – взаимная проводимость “ к ”-ой и “ m ”-ой ветви. Она определяется отношением тока “ к ”-ой ветви к ЭДС помещенной в “ m ”-ю ветвь при равных нулю ЭДС в остальных ветвях, т.е:.

.

Так как стрелки токов в “ к ”-ой и “ m ”-ой ветвях в общем случае ставятся произвольно, а ЭДС в “ m ”-ой ветви поставить по стрелке тока в этой ветви, то g_km – алгебраическое число.

Принцип взаимности выражается равенством

Этот принцип можно проиллюстрировать двумя режимами работы электрической цепи, если в ней выделить ветви “ к ” и “ m ”.

Если e_k= e_m= e, то справедливо равенство

 

Пример 1.

 

В электрической цепи необходимо определить входные и взаимные проводимости, если , .

 

Решение.

Выбираем (произвольно) направления токов в ветвях и обозначаем их.

Поместим в ветвь 1 источник ЕДС , как показано на рисунке и вычислим токи, вызванные этим источником.

 

Вычисляем :

Помещаем в ветвь 2 источник ЕДС е ₂=10 В как показано на рисунке и вычислим токи, вызванные этим источником.

Вычисляем :

Помещаем в ветвь 3 источник ЕДС е ₃=10 В как показано на рисунке и вычислим токи, вызванные этим источником.

 

Вычисляем :

 

Пример 2.

В электрической цепи, рассмотренной в примере 1, поменяем источники ЭДС е ₁=70 В; е ₂=120 В; е ₃=200 В.

Требуется вычислить токи в ветвях цепи.

 

Решение.

Составим матрицу входных и взаимных проводимостей, взяв их значения из расчета, проведенного в примере 1.

Тогда, применяя принцип наложения вычислим вектор токов в ветвях умножением матрицы проводимости на вектор ЭДС.