Задача 14. Уздовж осі ОХ поширюються в протилежних напрямках дві плоскі хвилі з різними частотами і амплітудами Що буде спостерігатися при накладані цих хвиль?

Розв'язання: Нехай рівняння однієї хвилі матиме вигляд , де хвильове число; тоді рівняння другої хвилі, яка поширюється назустріч першій,

Внаслідок накладання двох хвиль отримаємо:

Оскільки то рівняння набуде вигляду

Отже, внаслідок накладання двох хвиль утворилася хвиля з амплітудою В рівнянні при де Знайдемо відхилення точки, яка здійснює коливальний рух на відстані S. Оскільки , а то в довільний момент часу. Отже, у даному випадку це стояча хвиля, яка описується рівнянням

Задача 15. Літак летить горизонтально на висоті H=4км з надзвуковою швидкістю. Звук доходить до спостерігача через t=10c після того, як над ним пролетів літак (рис.28). Визначити швидкість літака, якщо швидкість звуку

Розв'язання:У точці В знаходиться спостерігач, а в точці А- літак у момент часу t. Із кожної точки, яку пролітає літак, поширюється звукова хвиля. Якщо додати всі звукові хвилі для моменту, коли літак знаходиться у точці А, то отримаємо хвильову поверхню у вигляді конуса

Рис.28

Це так звана ударна звукова хвиля. Розглянемо і . Із отримаємо

а з

Прирівнянвши праві частини рівнянь, маємо

Оскільки а , то

 

Задача16. Приймач радіосигналів, який стежить за появою супутника Землі над горизонтом, розміщений на березі озера на висоті H=3м над поверхнею води (рис.29). Відповідно до підйому супутника над горизонтом спостерігається періодична зміна інтенсивності сигналу, що приймається. Визначити частоту радіосигналу супутника, якщо максимум інтенсивності спостерігаються при кутах і

Рис.29

Розв'язання:Оскільки супутник знаходиться на великій відстані від приймача, то електромагнітну хвилю можна вважати плоскою хвилею. На приймач потрапляє промінь 1, що проходить безпосередньо від супутника, та промінь 2, який проходить від супутника і відбивається від поверхні озера, потрапляє також до приймача радіосигналів.

Визначимо різницю ходу хвиль, яка дорівнюватиме Із знайдемо Із визначимо відрізок Підставивши значення відрізків і , отримаємо рівняння для визначення різниці ходу:

Оскільки то

Кут a досить незначний. Тоді (вираженому в радіанах), отже,

Максимум інтенсивності сигналу буде тоді, коли різниця ходу дорівнюватиме цілому числу довжини хвилі: Запишемо умову максимуму для кутів і враховуючи, що і знайдемо довжину хвилі радіосигналу супутника:

Оскільки то

 

Задача17. Коливальний контур приймача складається з котушки і конденсатора з площею пластин і відстанню між ними заповненого слюдою (діелектрична проникливість). На яку довжину хвилі настроїли контур, якщо відомо, що відношення максимальної напруги на конденсаторі до максимального струму в котушці Активним опором котушки можна знехтувати.

Розв'язання: Частота вільних коливань у контурі визначається за формулою де – ємність конденсатора; L – індуктивність котушки. Згідно з законом збереження енергії, де .

Рівняння закону збереження енергії набуде вигляду

Оскільки (згідно з умовою задачі), то

За умови, що контур настроїли на довжину хвилі λ; електромагнітного випромінювання, то згідно з умовою резонансу . Оскільки , де с – швидкість світла, то

Підставивши значення ємності конденсатора в рівняння, отримаємо

 

Задача 18. Радіолокатор працює на довжині хвилі і випромінює імпульси з частотою. Тривалість кожного імпульсу. Яка найбільша дальність виявлення цілі? Скільки коливань в одному імпульсі?

Розв'язання: Нехай ціль знаходиться на відстані L від радіолокатора. Електромагнітні імпульси проходять до цілі і назад відстань 2L, поширюючись у просторі зі швидкістю світла. Час, за який імпульс пройде відстань 2L, становить , де с – швидкість електромагнітної хвилі. При цьому назад до радіолокатора електромагнітний імпульс має повернутись до того моменту, коли буде випромінюватись наступний імпульс, тобто , де - час між випромінюванням імпульсів. Оскільки а то

Радіолокатор випромінює електромагнітні хвилі з частотою і періодом . Оскільки тривалість одного імпульсу , а період , то в одному імпульсі буде коливань.

 

Задача 19. Два когерентних джерела S₁ і S₂ з довжиною хвилі λ=4 *10-7 м знаходяться на відстані d=3 мм один від одного (рис.30). Паралельно лінії, яка з’єднує ці два джерела світла, розміщено екран на відстані L=2 м від них. Що буде спостерігатись в точці А екрана – світло чи темрява?

Рис.30

Розв'язання:У даному випадку в точці буде спостерігатись світло, якщо різниця ходу променів дорівнюватиме цілому числу хвиль, а в протилежному – темрява. Оскільки а то різниця ходу променів визначається за формулою

У випадку, коли значить і можна використати формулу Ньютона, згідно з якою Отже, формула для визначення різниці ходу променів набуде вигляду

Записавши умову максимуму для інтерференції, знайдемо n:

Оскільки n=1,4, тобто n – не ціле число, то в точці A буде спостерігатись темрява.

 

Задача 20. Скільки штрихів на 1мм довжини має дифракційна решітка, якщо зелена лінія ртуті з довжиною хвилі у спектрі першого порядку спостерігається під кутом Визначити також найбільший порядок спектра, який може утворити дана дифракційна решітка.

Розв'язання:Використаємо формулу дифракційної решітки де - довжина хвилі; - кут відхилення променя; n=1 (згідно з умовою задачі); d – період решітки.

Оскільки то формула набуде вигляду

Для того щоб знайти найбільший порядок спектра, знову запишемо формулу дифракційної решітки

або

Оскільки то

Враховуючи, що n має бути цілим числом, максимальний порядок спектра дорівнюватиме

 

Задача 21. Промені від джерела світла проходять крізь розрізану на дві половини збірну лінзу. Визначити відстань між темними смугами інтерференції, якщо джерело світла знаходиться на відстані d=15 см від розрізаної лінзи; фокусна відстань лінзи F=10 см; половинки лінзи розсунуті на ; екран розташовано на відстані D=360 см від лінзи; довжина хвилі монохроматичного світла .

Рис.31

Розв'язання:Після того, як лінзу розрізали, утворилось дві лінзи і з оптичними центрами і і фокусами і (рис.31). Оскільки радіуси кривизни не змінились, то фокусна відстань лінз, які утворились, дорівнює фокусній відстані суцільної лінзи.

Світло від джерела S розділиться на два когерентних пучки. Можна вважати, що ці два пучки створені джерелами і , які є зображеннями точки S в лінзах і .

Для того щоб визначити положення дійсних зображень і джерела світла S, скористаємося формулою тонкої лінзи:

Визначимо відстань між дійсними зображеннями і із подібності трикутників і

Різниця ходу до будь-якої точки M на екрані дорівнюватиме

Підставивши значення і в рівняння, отримаємо

Запишемо умову максимуму при інтерференції

Оскільки то

Рівняння для визначення положення n-ї інтерференційності смуги матиме вигляд

Для (n+1)-ї смуги

отже, відстань між темними смугами при інтерференції становить

 

Задача 22. Червона межа фотоефекту в літію Яку затримуючу різницю потенціалів необхідно прикласти до фотоелемента, щоб затримати електрони, які вириваються з літію під дією ультрафіолетових променів з довжиною хвилі

Розв'язання:Запишемо рівняння Ейнштейна для фотоефекту

Оскільки, згідно з умовою задачі, відома червона межа фотоефекту для літію, то можна визначити роботу виходу

де - довжина хвилі червоної межі фотоефекту для літію. Для того щоб електрони не долетіли до анода, необхідно прикласти таку різницю потенціалів, щоб виконувалась умова де . Підставивши значення роботи виходу і кінетичної енергії (і врахувавши, що ) в рівняння Ейнштейна для фотоефекту, отримаємо

 

Задача 23. Випромінювання аргонового лазера з довжиною хвилі сфокусовано на плоскому фотокатоді так, що утворилась пляма діаметром d=0,01 мм. Робота виходу фотокатода . На плоский анод, який розміщений на відстані L=30 мм від катода (рис.32), подана напруга Знайти діаметр плями фотоелектродів на аноді. Анод розміщено паралельно поверхні катода.

Рис.32

Розв'язання:Зпишемо рівняння Ейнштейна для фотоефекту:

Оскільки то

Електрони, які вириваються із фотокатода, будуть мати вектори швидкості , направлені довільно в просторі. Діаметр плями на аноді буде визначатись зміщенням електрона в напрямку осі OY, а воно буде тим більшим, чим більша проекція вектора швидкості на вісь OY і час руху між катодом і анодом. Проекція швидкості буде максимальною тоді, коли швидкість напрямлена вздовж цієї осі (рис.33).

Рис.33

Отже, необхідно розглянути рух електрона з швидкістю, вектор якої напрямлений перпендикулярно до осі OX.

На електрон буде діяти сила електричного поля Згідно з другим законом Ньютона,

Оскільки , а то рівняння для визначення прискорення набуде вигляду Враховуючи, що електрон буде рухатись по параболі, записуємо друге рівняння кінематики в проекціях на осі OX і OY:

Підставивши значення для визначення початкової швидкості і прискорення в дане рівняння, отримаємо

Діаметр плями на аноді обчислюється за формулою

Підставивши числові значення всіх величин і врахувавши, що отримаємо

 

Задача 24. Потужність точкового джерела когерентного світла на довжині хвилі На якій максимальній відстані дане джерело світла буде спостерігатись людиною, якщо людське око неагує на світловий потік n=60 фотонів/с? Діаметр зіниці ока d=0,5 см.

Розв'язання:За проміжок часу точкове джерело світла випромінює енергію причому в довільний момент часу ця енергія розподіляетсья рівномірно по поверхні сфери радіуса R.

Оскільки на одиницю поверхні припадає енергія випромінювання де - площа поверхні сфери, то в зінницю, площа поверхні якої дорівнює попадає енергія

Нехай за час в зінницю попаде N фотонів; тоді енергія цих фотонів Прирівняємо праві частини рівнянь для визначення енергії фотонів, які потрапляють у зіницю, і визначаємо радіус сфери, який дорівнюватиме відстані, на якій людина ще зможе спостерігати джерело світла:

Оскільки рівняння набуде вигляду