Оценивание параметров моделей ARMA.

1. Модель авторегрессии.

В случае АR(1): Х_t= [f₀]+f₁∙Х_t-1+ e_t, где e_t – «белый шум» с μ_e=0.

Если имеется константа f₀, то мат.ожидание процесса будет равно f₀. Следовательно, оценка данного параметра будет равна среднему арифметическому:

;

Оценкой параметра f₁ будет выборочный коэффициент автокорреляции 1-ого порядка:

В случае АR(2): Х_t= [f₀]+f₁∙Х_t-1+f₂∙Х_t-2+e_t, где e_t – «белый шум» с μ_e=0.

Оценками параметров f₁ и f₂ будут:

; .

Где - выборочный коэффициент автокорреляции порядка t:

.

Рассмотрим теперь общий случай авторегрессии: АR(p):

Х_t= [f₀]+f₁∙Х_t-1+ f₂∙Х_t-2+ …+f_р∙Х_t-р+ e_t, где e_t – «белый шум» с μ_e=0.

Для оценки параметров f_j (j =1;p) нужно решить систему уравнений:

 

 

 

2. Модель скользящего среднего:

В случае МА(1): Х_t=e_t - w₁∙e_t-1, где e_t – «белый шум» с μ_e=0 требуется оценить один параметр w₁. Для его оценки воспользуемся формулой коэффициента автокорреляции 1-ого порядка: (*).

Если оценить r₁ как выборочный коэффициент автокорреляции:

,

то оценки параметра можно найти из соотношения (*):

.

Т.е. нужно найти корни квадратичного уравнения. Их всего будет два. Выбирают тот корень, который удовлетворяет неравенству: │w₁│<1 (условие обратимости для МА(1)).

В случае МА(2): Х_t=e_t - w₁∙e_t-1- w₂∙e_t-2, где e_t – «белый шум» с μ_e=0 требуется оценить два параметра: w₁, w₂.

Для оценки параметров воспользуемся формулами расчета коэффициентов автокорреляции 1-ого и 2-ого порядков:

(**).

Подставляя вместо коэффициентов автокорреляции их выборочные оценки и решив систему нелинейных уравнений (**) получим искомые оценки w₁, w₂.

В случае МА(3): Х_t=e_t - w₁∙e_t-1- w₂∙e_t-2-w₃∙e_t-3, где e_t – «белый шум» с μ_e=0 требуется оценить два параметра: w₁, w₂, w₂.

Для оценки параметров воспользуемся формулами расчета коэффициентов автокорреляции 1-ого, 2-ого и 3-его порядков:

(***).

Подставляя вместо коэффициентов автокорреляции их выборочные оценки и решив систему нелинейных уравнений (***) получим искомые оценки w₁, w₂, w₂.