Исследование формы эллипса по его уравнению.
Определим форму эллипса по его каноническому уравнению (5). 1) Координаты точки О (0; 0) не удовлетворяют уравнению (5), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением, не проходит через начало координат. 2) Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (5) у=0, найдем х = ± а. Следовательно, эллипс пересекает ось Ох в точках A1 (a; 0) и А2 (–а; 0). Положив в уравнении (5) х = 0, найдем точки пересечения эллипса с осью Оу: В1 (0; b) и В2 (0; –b) (рис. 2). 3) Так как в уравнение (5) переменные х и у входят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат. 4) Определим область изменения переменных х и у. Выше мы уже показали, что
Переписав уравнение эллипса (5) в виде
Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми х = а, х = – а, у = b и у = – b (см. рис. 2). Рис. 2
5) Переписав (5) соответственно в виде
мы видим, что при возрастании | х |от 0 до а величина | у |убывает от b до 0, а при возрастании | у | от 0 до b величина | х| убывает от а до 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 3. Определение 4. Точки А1, А2, B1, B2 пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Из равенства (4) следует, что а > b.
Рис. 3 Определение 5. Отрезок А1А2 (А1Аг=2а, 3. Другие сведения об эллипсе. Вп. 2 мы установили, что в каноническом уравнении эллипса а > b. Если же а < b, то уравнение (5) не является каноническим уравнением эллипса. Однако и в этом случае уравнение (5) определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Оу, а малая ось 2а – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F1 (0; с) и F2 (0; – с), где
Рис. 4
Определение 6. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой ε. Если a > b,то по определению
При а < b имеем
Из формул (8) и (9) следует 0 ≤ ε ≤ 1. При этом с увеличением разности между полуосями а и b увеличивается соответствующим образом и эксцентриситет эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между а и b уменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут вдоль большой оси; чем меньше эксцентриситет, тем более эллипс по форме ближе к окружности. В частности, если b = a, то ε = 0, и уравнение эллипса
Рис. 5 примет вид х2 + у2 = а2, которое определяет окружность радиуса а с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а, следовательно, эксцентриситет равен нулю. Из рис. 5, на котором изображены эллипсы Определение 7. Прямые, параллельные малой оси эллипса, находящиеся на расстоянии Тогда уравнения директрис эллипса имеют вид:
В заключение поясним, как можно построить эллипс
Для этого на осях координат строим вершины эллипса А1 (а; 0), А2 (–а; 0), В1 (0; b) и В2 (0; – b). Затем из вершины Bt (можно из В2) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки F1 и F2 (рис. 6). Это будут фокусы эллипса, потому что а2 – b2 = с2. Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна 2а, и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.
Рис. 6
В ряде задач математики и механики приходится иметь дело с эллипсом, центр которого находится не в начале координат, а в точке О' (х0; у0). Если оси эллипса параллельны осям координат, то уравнение эллипса имеет вид
Это уравнение эллипса со смещенным центром.
«Гипербола»
|
, т.е. 
.
, получим 
, откуда
, или 
.
и 
,
, 
) называется большой осью эллипса, а отрезок В1В2 (В1B2=2b) – малой осью. Оси A1A2 и В1В2 являются осями симметрии эллипса, а точка О – центром симметрии (или просто центром) эллипса.
(рис. 4).
(8)
(9)
(ε = 4/5), 
(ε = 3/5) и окружность х2 + у2 = 25 (ε = 0), хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета.
от нее, называются директрисами эллипса.
, 
.
.
. (10)
