Каноническое уравнение гиперболы.

Определение 1. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Составим уравнение гиперболы с фокусами в данных точках F₁ и F₂. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делило отрезок F₁F₂ пополам (рис. 1).

Обозначив F₁F₂ = 2с, получим F₁ (с; 0) и F₂ (–с; 0). Пусть М (х; у) – произвольная точка гиперболы.

Рис. 1

 

Определение 2. Расстояния r₁ = F₁M и r₂ = F₂M называются фокальными радиусами точки М.

Согласно определению гиперболы

| r₁—r₂ | =2a , (1)

где 2а – величина постоянная и 2а < 2с, т.е. а < с. Подставив

и

вравенство (1), получим уравнение гиперболы

. (2)

Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:

,

,

,

,

,

т.е.

.

Так как а < с, то с² – а² > 0. Положим

с² – а² = b² ;(3)

тогда последнее равенство принимает вид

b²x² – a²y² = a²b²,

или

(4)

Так как координаты х и у любой точки М гиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).

Как и в случае эллипса, можно показать, что спра­ведливо и обратное: если координаты точки М (х; у) удовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.

Определение 3. Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.