Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Каноническое уравнение эллипса.





Определение 1. Э лл ипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, бóльшая, чем расстояние между фокусами.

 

 

Рис. 1

 

Составим уравнение эллипса с фокусами в данных точках F1 и F2. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делило отрезок F1F2 пополам (рис.1).

Обозначив F1F2=2c, получим F1 (c; 0) и F2 (–с; 0). Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса.

Определение 2. Расстояния r1=F1M и r2=F2M называются фокальными радиусами точки М.

Положим

; (1)

тогда согласно определению эллипса – величина постоянная, причем 2а>2с, т.е. а>с.

По формуле расстояния между двумя точками находим

и . (2)

Подставив найденные значения r1 и r2 в равенство (1), получим уравнение эллипса

(3)

Преобразуем уравнение (3) следующим образом:

т. е.

Так как а > с, то а2–с2>0. Положим

(4)

 

тогда последнее уравнение примет вид

или

(5)

 

 

Так как координаты х и у любой точки М эллипса удовлетворяют уравнению (3), то они удовлетворяют и уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки М(х; у) удовлетворяют уравнению (5), то она принадлежит эллипсу.

Пусть М (х; у) – произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5) следует

(6)

то откуда

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

и

Но так как а > с > 0 и , то

и ,

откуда

и (7)

и, следовательно, , т. е., точка М (х; у) действительно принадлежит эллипсу.

Определение 3. Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса.







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 729. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Вопрос 1. Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации К коллективным средствам защиты относятся: вентиляция, отопление, освещение, защита от шума и вибрации...

Задержки и неисправности пистолета Макарова 1.Что может произойти при стрельбе из пистолета, если загрязнятся пазы на рамке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия