Каноническое уравнение эллипса.

Определение 1. Э лл ипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, бóльшая, чем расстояние между фокусами.

 

 

Рис. 1

 

Составим уравнение эллипса с фокусами в данных точках F₁ и F₂. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делило отрезок F₁F₂ пополам (рис.1).

Обозначив F₁F₂=2c, получим F₁ (c; 0) и F₂ (–с; 0). Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса.

Определение 2. Расстояния r₁=F₁M и r₂=F₂M называются фокальными радиусами точки М.

Положим

; (1)

тогда согласно определению эллипса 2а – величина постоянная, причем 2а>2с, т.е. а>с.

По формуле расстояния между двумя точками находим

и . (2)

Подставив найденные значения r₁ и r₂ в равенство (1), получим уравнение эллипса

(3)

Преобразуем уравнение (3) следующим образом:

т. е.

Так как а > с, то а²–с²>0. Положим

(4)

 

тогда последнее уравнение примет вид

или

(5)

 

 

Так как координаты х и у любой точки М эллипса удовлетворяют уравнению (3), то они удовлетворяют и уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки М(х; у) удовлетворяют уравнению (5), то она принадлежит эллипсу.

Пусть М (х; у) – произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5) следует

(6)

то откуда

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

и

Но так как а > с > 0 и , то

и ,

откуда

и (7)

и, следовательно, , т. е., точка М (х; у) действительно принадлежит эллипсу.

Определение 3. Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса.