Каноническое уравнение эллипса.

Определение 1. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, бóльшая, чем расстояние между фокусами.

Рис. 1

Составим уравнение эллипса с фокусами в данных точках F₁ и F₂. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делило отрезок F₁F₂ пополам (рис.1).

Обозначив F₁F₂=2c, получим F₁ (c; 0) и F₂ (–с; 0). Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса.

Определение 2. Расстояния r₁=F₁M и r₂=F₂M называются фокальными радиусами точки М.

Положим

; (1)

тогда согласно определению эллипса 2а – величина постоянная, причем 2а>2с, т.е. а>с.

По формуле расстояния между двумя точками находим

и . (2)

Подставив найденные значения r₁ и r₂ в равенство (1), получим уравнение эллипса

(3)

Преобразуем уравнение (3) следующим образом:

т. е.

Так как а > с, то а²–с²>0. Положим

(4)

тогда последнее уравнение примет вид

или

(5)

Так как координаты х и у любой точки М эллипса удовлетворяют уравнению (3), то они удовлетворяют и уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки М(х; у) удовлетворяют уравнению (5), то она принадлежит эллипсу.

Пусть М (х; у) – произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5) следует

(6)

то откуда

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

и

Но так как а > с > 0 и , то

и ,

откуда

и (7)

и, следовательно, , т. е., точка М (х; у) действительно принадлежит эллипсу.

Определение 3. Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса.