Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Каноническое уравнение параболы.




Определение 1. Параболойназывается множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом,и от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.

Составим уравнение параболы с фокусом в данной точке F и директрисой которой является прямая d, не проходящая через F. Выберем прямоугольную систему координат следующим образом: ось Ох проведем через фокус F перпендикулярно директрисе d в направлении от d к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 1).

Рис. 1

Определение 2. Расстояние от фокуса F до директрисы d называется параметром параболыи обозначается через р (р > 0).

Из рис. 1 видно, что p = FK, следовательно, фокус имеет координаты F (р/2; 0), а уравнение директрисы имеет вид х = – р/2, или

Пусть М(х; у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F ипроведем MN d. Непосредственно из рис. 1 видно, что

а по формуле расстояния между двумя точками

Согласно определению параболы, MF = MN, (1)

следовательно, (2)

Уравнение (2) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (2) преобразуем его следующим образом:

т.е.,

(3)

 

Координаты х и у точки М параболы удовлетворяют условию (1), а следовательно, и уравнению (3).

Определение 3. Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

2. Исследование формы параболы по ее уравнению. Определим форму параболы по ее каноническому уравнению (3).

1) Координаты точки О (0; 0) удовлетворяют уравнению (3), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2) Так как в уравнение (3) переменная у входит только в четной степени, то парабола у2 = 2рх симметрична относительно оси абсцисс.

 

Рис. 2.

 

3) Так как р > 0, то из (3) следует х ≥ 0. Следовательно, парабола у2 = 2рх расположена справа от оси Оу.

4) При возрастании абсциссы х от 0 до +∞ ордината у изменяется от 0 до ±∞, т.е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси Ох, так и от оси Оу.

Парабола у2 = 2рх имеет форму, изображенную на рис. 2.

Определение 4. Ось Ох называется осью симметрии параболы. Точка О (0; 0) пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок FM называется фокальным радиусом точки М.

Замечание. Для составления уравнения параболы вида у2 = 2рх мы специальным образом выбрали прямоугольную систему координат (см. п. 1). Если же систему координат выбрать другим образом, то и уравнение параболы будет иметь иной вид.

а

б в

 

Рис. 3

 

Так, например, если направить ось Ох от фокуса к директрисе (рис. 3, а), то уравнение параболы примет вид

у2 = –2рх. (4)

Фокус такой параболы имеет координаты F(–р/2; 0), а директриса d задана уравнением х = р/2.

Если ось Оу проведем через фокус F перпендикулярно к директрисе d в направлении от d к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 3, б), то уравнение параболы пример вид

х2 = 2ру.(5)

Фокус такой параболы имеет координаты F (0; р/2), а директриса d задана уравнением у=–р/2.

Если ось Оу проведем через фокус F перпендикулярно к директрисе d в направлении от F к d (рис. 3, в), то уравнение параболы примет вид

х2 = –2ру (6)

Координаты ее фокуса будут F (0; –р/2), а уравнением директрисы d будет у = р/2.

Об уравнения (4), (5), (6) говорят, что они имеют простейший вид.

 

Рис. 4

 

3. Параллельный перенос параболы. Пусть дана парабола с вершиной в точке О' (а; b), ось симметрии которой параллельна оси Оу, а ветви направлены вверх (рис. 4). Требуется составить уравнение параболы.

(9)

Определение 5. Уравнение (9) называется уравнением параболы со смещенной вершиной.

Преобразуем это уравнение следующим образом:

Положив

будем иметь

(10)

Нетрудно показать, что для любых А, В, С график квадратного трехчлена (10) представляет собой параболу в смысле определения 1. Уравнение параболы вида (10) изучалось в школьном курсе алгебре.

 







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 1655. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия