Равносторонняя гипербола.

Определение 7. Гипербола называется равносторонней,если длины ее полуосей равны между собой, т.е. а=b. В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

,

или

. (13)

Равносторонняя гипербола определяется одним параметром а и асимптотами являются биссектрисы координатных углов

.

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет

 

Рис. 5

 

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат Ox'y', полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол α = –45° (рис. 5).

Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат Ох'у'.

Учитывая равенство (13), получим

x'y' = а²/2. (14)

Определение 8. Уравнение (14) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (14) следует, что переменные х' и у' – величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратной пропорциональной зависимости.

Если центр гиперболы находится не в начале координат, а в точке О'(х₀; у₀), а оси гиперболы параллельны осям координат, то уравнение гиперболы будет иметь вид

или (15)

Это уравнения гиперболы со смещенным центром.

«Парабола»