Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Исследование формы гиперболы по ее уравнению.




Определим форму гиперболы по ее каноническому урав­нению (4).

1) Координаты точки О (0; 0) не удовлетворяют уравнению (4), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2) Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (4) у = 0, найдем х = ± а. Следовательно, гипербола пересекает ось Ох в точках A1 (a; 0) и А2 (–а; 0). Положив в уравнении (4) х = 0, получим у2 = – b2, а это означает, что система

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось Оу.

3) Так как в уравнение (4) переменные х и у входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4) Определим область изменения переменных х и у;для этого из уравнения (4) находим

, (5)

. (6)

 

Из (5) следует, что |х| ≥ а, т.е. х а или х ≤ –а; из (6) следует, что у – любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева oт прямой х = – а и справа от прямой х = а.

5) Из (5) следует также, что

у → ± ∞ при х → + ∞.

у → ± ∞ при х → – ∞.

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы), а другая – слева от прямой х = – а (левая ветвь гиперболы).

Рис. 2

 

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 2.

Определение 4. Точки А1 (а; 0) и А2 (а; 0) пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Отрезок A1A2 (A1A2=2a),соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью.Отрезок B1B2 (B1B2=2b), соединяющий точки B1 (0; b) и В2 (0; b), называется мнимой осью.Число а называется действительной полуосью, число bмнимой полуосью.Оси А1А2 и В1В2 являются осями симметрии гиперболы. Точка О пересечения осей симметрии называется центром гиперболы.

У гиперболы (4) фокусы F1 и F2 всегда находятся на действительной оси.

Можно показать (так же, как и в случае эллипса), что фокальные радиусы для точки М (х; у), расположенной на правой ветви гиперболы, вычисляются по формулам

и , (7)

а для точки М (х; у), расположенной на левой ветви, – по формулам

и . (8)

 







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 1253. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия