Исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Определим форму гиперболы по ее каноническому урав­нению (4).

1) Координаты точки О (0; 0) не удовлетворяют уравнению (4), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2) Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (4) у = 0, найдем х = ± а. Следовательно, гипербола пересекает ось Ох в точках A₁ (a; 0) и А₂ (–а; 0). Положив в уравнении (4) х = 0, получим у² = – b², а это означает, что система

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось Оу.

3) Так как в уравнение (4) переменные х и у входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4) Определим область изменения переменных х и у;для этого из уравнения (4) находим

, (5)

. (6)

 

Из (5) следует, что |х| ≥ а, т.е. х ≥ а или х ≤ –а; из (6) следует, что у – любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева oт прямой х = – а и справа от прямой х = а.

5) Из (5) следует также, что

у → ± ∞; при х → + ∞;.

у → ± ∞; при х → – ∞;.

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы), а другая – слева от прямой х = – а (левая ветвь гиперболы).

Рис. 2

 

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 2.

Определение 4. Точки А₁ (а; 0) и А₂ (а; 0) пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Отрезок A₁A₂ (A₁A₂=2a),соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок B₁B₂ (B₁B₂=2b), соединяющий точки B₁ (0; b) и В₂ (0; – b), называется мнимой осью. Число а называется действительной полуосью, число b – мнимой полуосью. Оси А₁А₂ и В₁В₂ являются осями симметрии гиперболы. Точка О пересечения осей симметрии называется центром гиперболы.

У гиперболы (4) фокусы F₁ и F₂ всегда находятся на действительной оси.

Можно показать (так же, как и в случае эллипса), что фокальные радиусы для точки М (х; у), расположенной на правой ветви гиперболы, вычисляются по формулам

и , (7)

а для точки М (х; у), расположенной на левой ветви, – по формулам

и . (8)