Вычисление определенных интегралов с помощью рядов

Степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью с любой заданной точностью вычисляют значения функций (в частности значения π и e). Значительную роль играют степенные ряды в приближенных методах решений дифференциальных уравнений. Определенные интегралы от различных типов функций за малым исключением не вычисляются по формуле Ньютона – Лейбница, например,

и др.

С помощью рядов находят приближенные значения таких определенных интегралов, которые или не выражаются через элементарные функции или сложны для вычислений. Среди них часто встречающиеся в практических приложениях математики.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть требуется вычислить интеграл .

Здесь первообразная от не является элементарной функцией. Для

вычисления этого интеграла разложим подынтегральную функцию в ряд

заменяя в разложении ,тогда

.

Интегрируя обе части этого равенства в пределах от 0 до a, получим

С помощью этого равенства мы можем при любом a вычислить данный интеграл с любой степенью точности.

2. Пусть требуется вычислить интеграл Этот интеграл не берется в элементарных функциях, поскольку первообразная функции не является элементарной. В то же время эта первообразная легко выражается в виде степенного ряда.

Из равенства

получаем

,

последний ряд сходится при всех значениях x.

Интегрируя почленно, получим

.

Сумма ряда вычисляется с любой заданной степенью точности при всех a.

 

 

Сводная таблица основных формул по теме «Функциональные ряды»

Понятие	Определение, формула
Функциональный ряд	Ряд вида u 1+ u 2+ u 3+¼+ un +¼= , где u 1, u 2,…, u n,…- функции переменной х.
Степенной ряд	х 0 ≠0, а 0+ а 1(х - х 0)+…+ аn (х - х 0) n +…= х 0 = 0,
Радиус ходимости	По признаку Даламбера По радикальному признаку Коши
Ряд Тейлора	f (x)= f (x 0) + f ¢(x 0) (х – х 0) + + …+ + …
Ряд Маклорена	f (x)= f (0) + f ¢(0) х + + …+ + …
Разложение функций по степеням х