Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд (13.3.1) сходится при х = х ₀ (х ₀¹0), то он сходится, и притом абсолютно, для любых х удовлетворяющих условию | х |<| x ₀|;

2) Если ряд (1) расходится при х = х ₁, то он расходится для любых х, удовлетворяющих условию | х |>| x ₁|.

Доказательство. 1) Так как по условию числовой ряд сходится, то его общий член → 0при п →∞. Отсюда следует, что существует число М >0 такое, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М,т.е.

. (13.3.2)

 

Перепишем ряд (13.3.1) в виде

 

 

и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

 

(13.3.3)

 

Члены ряда (13.3.3), в силу неравенства (13.3.2) меньше соответствующих членов ряда

 

(13.3.4)

 

При | х |<| x ₀| ряд (13.3.4) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (13.3.3) меньше соответствующих членов ряда (13.3.4), то, по признаку сравнения, ряд (13.3.3) также сходится, а это значит, что ряд (13.3.1) сходится абсолютно.

2) По условию, в точке х ₁ ряд (1) расходится. Докажем, что он расходится для любого х: | х |>| x ₁|. Предположим обратное, т. е. допустим, что при некотором значении х, таком, что | х |>| x ₁|, ряд (13.3.1) сходится. Тогда по только что доказанной первой части теоремы этот ряд должен сходится в точке х ₁, т. к. | x ₁|<| х |. Но это противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Следствие. Если ряд (13.3.1) сходится не при всех значениях х и не только в точке х =0, то существует число R >0 такое, что ряд абсолютно сходится при | х |< R и расходится при | х |> R. (без доказательства).

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что для всех х: | х |< R, степенной ряд сходится, а для любого х: | х |> R, расходится.

Интервал (-R; R) называется интервалом сходимости. Множество точек, в которых ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Область сходимости есть интервал сходимости, который может включать один или оба его конца.

Замечание. 1) Если R =0, то ряд сходится в единственной точке х =0. Если R =¥, то ряд сходится при всех х.

2) При х = ± R ряд может, как сходится, так и расходится. Вопрос о сходимости ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда

 

ряд расходится

ряд расходится

ряд сходится

х

R

̶ R

 

 

Теорема (о способе определения радиуса сходимости).

Если существует

 

, (13.3.5)

 

то радиус сходимости ряда (13.3.1) равен

 

. (13.3.6)

 

Доказательство. Исследуем ряд (13.3.1) на сходимость по признаку Даламбера. По условию теоремы существует предел (13.3.5). Обозначим его . Тогда

 

.

 

При каждом значении х ряд становится числовым. Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится, если , т. е. | х |< R. Следовательно, по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда ряд (13.3.1) сходится абсолютно при | х |< R.

При | х |> R этот ряд расходится, т. к.

 

 

и его общий член при п ®∞. Таким образом ряд сходится внутри

интервала (-R; R) и расходится вне его, при этом .

Замечание. Аналогичным образом, для определения интервала сходимости можно пользоваться радикальным признаком сходимости Коши. Тогда радиус сходимости ряда (1) определяется формулой

, (13.3.7)

если предел, стоящий в знаменателе существует.