Свойства степенных рядов.

 

Определение. Пусть функция f (x) является суммой степенного ряда

 

, (13.3.8)

 

интервал сходимости которого (-R; R). В этом случае говорят, что на (-R; R) f (x) разлагается в степенной ряд или ряд по степеням х.

Теорема 1. Если функция f (x) на интервале (-R; R) разлагается в степенной ряд (13.3.8), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная f¢;(x) может быть найдена почленным дифференцированием членов этого ряда, т. е.

 

f¢;(x)= а ₁+2 а ₂ х +3 а ₃ х ²+¼+ па_пх^{п- 1}+¼

 

Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции f (x). При этом соответствующие ряды имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (13.3.8).

Теорема 2. Если функция на f (x) на интервале (-R; R) разлагается в степенной ряд (13.3.8), то она интегрируема на (-R; R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием ряда (13.3.8), т. е. если а, b Î(-R; R), то

 

.

 

При этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (13.3.8).

Замечание. Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида:

. (13.3.9)

Если f (x)-сумма ряда, то говорят, что f (x) разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням х - х ₀. Все сказанное выше остается в силе для ряда (13.3.9), с той разницей, что центр интервала сходимости будет лежать не в точке х =0, а в точке х = х ₀.

 

 

ряд расходится

ряд расходится

ряд сходится

х

х 0

х 0 + R

х 0 ̶ R

Областью сходимости степенного ряда(13.3.9) является интервал (x ₀- R; x ₀+ R), к которому могут присоединиться один или оба его конца.