Теоретический анализ. Получим аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения в центробежном поле сил

Получим аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения в центробежном поле сил. Для этого запишем систему уравнений для аксиальной компоненты скорости в цилиндрической системе координатах:

Подставляя выражение , и решая систему получим следующее уравнение:

. (2.10)

Решение уравнения (2.10) будет состоять из общего однородного и частного неоднородного:

.

 

Решая общее однородное уравнение

,

получим:

.

Решая частное неоднородное уравнение

получим:

.

Их сумма запишется как:

 

Усредняя, получаем:

.

Так как энергия пропорциональна квадрату скорости, окончательно получим:

,

где - нормировочная постоянная.

 

Так как вторая вязкость не внесёт значительного вклада, а теплопроводность на этом этапе не учитывается, запишем формулу (1.24) без второй вязкости и теплопроводности:

Запишем коэффициент поглощения звуковых волн в единицу времени:

Принимая во внимание то, что k=ω/c и перейдя к единым обозначениям получим выражение для распределения энергии:

где , , а – нормировочная постоянная,

которое принимает вид резонансной кривой.

Теперь перейдем к выводу коэффициента затухания звука в центробежном поле сил. Для этого запишем общий вид коэффициента затухания звука в трубе без вращения [10]:

где .

 

Для вращающейся системы:

,

где .

Следовательно, коэффициент затухания звуковых волн в центробежном поле сил будет равен:

,

После преобразований, получаем следующую формулу для коэффициента затухания звуковых волн в центробежном поле сил выраженную через коэффициент затухания звуковых волн в покоящейся трубе:

. (2.11)