Волны в сильном центробежном поле

Рассмотрим газовую центрифугу, являющуюся ярким примером сильного центробежного поля. Роторы газовых центрифуг вращаются с линейной скоростью несколько сотен метров в секунду [17]. Центробежное ускорение может достигать порядка ⁶g на радиусе ротора в несколько сантиметров, что создает радиальный разделительный эффект в газовой центрифуге. Тем не менее, эффективное разделение изотопов в промышленных центрифугах достигается не только за счет центробежного поля. Результирующую роль играет осевая циркуляция, умножающая радиальный эффект разделения. Вследствие механического торможения газа, одной из причин возникновения циркуляции газа являются отборники, предназначенные для удаления обогащенной и обедненной газовой смеси.

Пара отборников, расположенная около торцевых крышек центрифуги, также способствует образованию сильных ударных волн (Рис.2), распространяющихся вдоль оси центрифуги. Они могут отражаться от торцевых крышек формируя волны, бегущие в обоих направлениях вдоль оси вращения. Амплитуда ударных волн затухает довольно быстро. В большей части ротора мы имеем дело с волнами небольшой амплитуды, что позволяет рассмотреть их в первую очередь в линейном приближении.

 

Рис.2. Схема газовой центрифуги с отборниками. Сплошная линия – ударная волна, образованная отборником; пунктирная линия – волна, отраженная от верхней торцевой крышки.

 

Даже рассматривая волны в линейном приближении возникает ряд сложностей. Применение обычных уравнений для расчета скоростей в данном случае попросту невозможно. Во-первых, сильное центробежное ускорение порядка 10⁶ g резко изменяет характеристики линейных волн, во-вторых, сильный радиальный градиент плотности, меняющийся на 6 порядков за изменение радиуса порядка нескольких сантиметров, дает скорость поглощения, изменяющуюся на 6 порядков. В таких условиях применение уравнений Навье-Стокса возможно только в узкой области с размером 1-2 см, хотя, как известно, типичный радиус центрифуги 6-8 см. При меньшем радиусе газ становится настолько разреженным, что длина пробега его молекул превышает радиус ротора. В этой области гидродинамические уравнения не работают. Из-за этих причин невозможно оценить даже длину распространения волн.

Предложено следующее решение данной проблемы [18]. Необходимо использовать упрощенную модель газа, предполагая, что гидродинамические уравнения справедливы везде. Кроме того, рассматриваем случай бездиссипативного газа, что означает пренебрежение молекулярной вязкостью и теплопроводностью.

Рассмотрим идеальный газ, имеющий молярную массу M и вращающийся с угловой скоростью ω. Система уравнений определяющая поведение газа во вращающейся системе запишется следующим образом [18]:

(1.8)

 

(1.9)

(1.10)

(1.11)

, (1.12)

где – теплоемкость при постоянном давлении, P - давление, D - плотность, – температура и –радиальная, угловая и осевая компоненты скорости.

Параметры газа могут быть представлены суммой параметров твердотельного вращения и неких отклонений:

, (1.13)

где , , – давление, плотность и температура твердотельного вращения, соответственно, , , , , , – отклонения радиальной, угловой, осевой компонент скорости, давления, плотности и температуры от значений твердотельного вращения, соответственно.

Зависимости от радиуса давления и плотности при твердотельном вращении имеют вид:

, (1.14)

, (1.15)

где, a – радиус ротора, а и – давление и плотность газа на стенке, соответственно.

Плотность идеального газа равна:

(1.16)

Для отклонения плотности газа от твердотельного вращения имеем:

(1.17)

Предполагая, что волны осесимметричны и делая ряд преобразований с уравнениями (1.8)-(1.17) [18], получаем:

(1.18)

Где

Для удобства введем . После подстановки получим:

(1.19)

Где

Уравнение (1.19) удобно рассматривать как уравнение Шредингера для частицы в потенциале вида:

Граничные условия будут находиться из условия равенства нулю радиальной компоненты скорости на стенке и на оси:

Анализ уравнений (1.18), (1.19) показывает, что в газовой центрифуге образуются волны трех семейств (рис.2), два семейства, названные верхним и нижним, при условии А≠0, и одно, названное звуковым, для условия А=0. Рассмотрим их более подробно.ассмотрим сначала первые два семейства. При условии А≠0 решение уравнения (1.19) будет выглядеть как [19]:

Где функция Уиттекера, удовлетворяющая условию:

.

Граничное условие дает нам дисперсионные соотношения для , и все возмущения выражаются через следующим образом:

(1.20)

Функция изображена на Рис.3. Линии для условий и также показаны на Рис.3. Условие дает две линии: и , последнее – закон дисперсии обычных звуковых волн. Условие дает линию , которая находится ниже линии для любого реального газа с показателем адиабаты λ<2. В данном случае в качестве рабочего газа используется с показателем адиабаты λ=1,67. Параметры рабочего газа указаны в Таблице 1.

 

Таблица 1. Основные параметры газовой центрифуги Игуасу

Параметр	Значение
M	352 г/моль
a	0,065 м
w	2π×1700
T0	300 K
ρw	80 мм рт. ст.
cp	385 Дж·K/кг
c	86 м/с

 

Рис.3. Закон дисперсии для первых четырёх радиальных мод волн верхнего и нижнего семейства (линии 1-4). Линия 5 – закон дисперсии обычных звуковых волн Ω=kс, линия 6 показывает условие .

 

Волны образуемые при выполнении условия А≠0 делятся на две семьи, верхнюю с Ω>ck и нижнюю, для которой Ω<ck. Рис. 3 показывает только первые 4 радиальные моды волн в зависимости от волнового вектора , направленного вдоль оси вращения. Согласно рисунку линии верхнего семейства стремятся к линии 5 при росте . При их фазовые скорости стремятся к скорости звука, а при выполняется условие .

Если , то мы имеем выражение для :

 

Для верхнего семейства волн потенциал имеет вид представленный на Рис.4 кривыми I,IV. Данный вид потенциала характерен для этой семьи при любом k, так как Ω>ck, и . Видно, что классическая область в которой выполняется условие расположена вблизи оси вращения. Волны в этой области могут двигаться с энергией равной нулю, а недалеко от стены ротора волны экспоненциально затухают. Это означает, что возмущения всех переменных будут сосредоточены рядом с осью вращения.

Дисперсия нижнего семейства кривых сложнее. Изменения потенциальной энергии происходят из-за смены знака и . Всего получается три зоны.

В первой зоне I - , a >0. Как показывают расчеты[18], потенциал возмущения сконцентрирован на оси.

В зоне II, хотя и меняет знак, и потенциал принимает вид, изображенный на Рис.3, но потенциал также будет сконцентрирован вдоль оси[].

В зоне III и >0 и потенциал имеет вид представленный на рис.3. Классическая область для волн будет располагаться вблизи стенки ротора, хотя эта область приближается к оси с ростом k, что подтверждает рис.4.

Существует одно важное свойство, объединяющее волны верхнего и нижнего семейств. Плотность энергии этих волн достигает максимума в областях, в которых плотность газа мала по сравнению с плотностью газа на стенке ротора. Даже в случае нижнего семейства максимум плотности энергии располагается на расстоянии около 1 см от стенки ротора[18]. А это значит, что эти решения не совсем точны. На них будет влиять два фактора. Во-первых, молекулярная вязкость в этих областях будет доминировать над динамикой газа, изменяя решение. Во-вторых, гидродинамические уравнения не будут справедливы в областях, расположенных близко к оси. Следует применять кинетические методы.

Рис. 4. Зависимость U от r для волн верхней и нижней семей. Числа около кривых соответствуют зонам, где реализуется потенциал.

 

Рассмотрим более интересный, в рамках данного исследования, случай, когда выполнено условие А=0. Этот случай требует отдельного рассмотрения, так как это решение было потеряно в ходе вычислений. Назовем это семейство – звуковым. Волны данного семейства распространяются со скоростью звука и являются строго продольными. Давление запишется как[18]:

 

 

где - давление на стенке ротора. связано с возмущением давления по формуле (1.20). Это следует из этого уравнения:

 

 

Рис.5 Радиальное распределение в звуковом семействе волн: (а) скорость,

(b) плотность кинетической энергии.

 

Как видно из Рис.5, основная часть кинетической энергии сосредоточена около стенки ротора. Это свойство кардинально отличает данное семейство волн от тех, которые обсуждались ранее, позволяя использовать гидродинамические уравнения для его описания.

Для физики газовых потоков наибольший интерес представляют именно звуковое семейство волн. Так как энергия верхнего и нижнего семейств располагается близко к оси, где процессы вязкости и теплопроводности превалируют над остальными. А значит волны этих семейств будут быстро затухать. К тому же в данной работе волны рассматриваются в гидродинамическом приближении, а волны верхнего и нижнего семейств целесообразно описывать в кинетическом приближении.