Дифференциальное уравнение теплопроводности

 

Математическое описание температурных полей в компонентах технологических систем выполняется с помощью дифференциального уравнения теплопроводности. Выведем это уравнение при следующих допущениях [3]: твердое тело однородно и изотропно; в процессе теплопередачи не происходят фазовые превращения; деформация, вызванная изменением температуры пренебрежимо мала по сравнению с размерами тела. Выделим из нагреваемого тела элементарный объем (рис. 1.4) DV, где

DV = Dx × Dy × Dz. На основании закона изменения внутренней энергии

dU= dQ₁+ dQ₂ , (1.13)

где dU – общее изменение внутренней энергии вещества в объеме DV за время Dt;

dQ₁ – количество теплоты, поступившее в этот объем путем теплопроводности;

dQ₂ – количество теплоты, возникшее в объеме ΔV в связи с функционированием в нем внутренних источников. К внутренним относятся

источники, тепловыделение которых связано с процессами, происходящими в материале твердого тела, например, с объемными химическими реакциями, действием электрического тока и т. д. Пусть за время dt к элементарной площадке А₁В₁С₁Д₁ подведено

dQ_x = q_x × Dy × Dz × dt теплоты, где q_x – плотность теплового потока в направлении оси ОХ. Через противоположную площадку А₂В₂С₂Д₂ за это же время отводится dQ_x+Dx теплоты, причем dQ_x+Dx = q_x+Dx × Dy × Dz × dt.

Разность:

dQ_1x = dQ_x - dQ_{x + Dx} = (q_x - q_{x + Dx}) × Dy × Dz × dt, (1.14)

представляет собой количество теплоты, поступившей в объем DV за счет теплопередачи в направлении оси ОХ. Функция q_x+Dx непрерывна в интервале Dx, поэтому она может быть разложена в ряд Тейлора:

(1.15)

Ограничимся первыми двумя членами ряда, поскольку остальные содержат малые величины высоких порядков. Тогда уравнение (1.14) преобразуется:

. (1.16)

Аналогичные выражения можно получить для определения количества теплоты, поступившей в объем DV по направлениям OY и OZ. Суммируя величины dQ_1x, dQ_1y, dQ_1z, получаем:

. (1.17)

Определим величину dQ₂. Если объемную плотность тепловыделения внутренних источников обозначить q_в., то за время dt в объеме DV накопится теплота:

dQ₂ = q_в. × DV × dt. (1.18)

Элементарные количества теплоты dQ₁ и dQ₂ вызовут изменение температуры вещества и величину dU можно найти из уравнения:

, (1.19)

где с – массовая теплоемкость, Дж/(кг×К), ρ; – плотность вещества, кг/м³.

Подставляя значения dQ₁, dQ₂, dU из уравнений (1.17) – (1.19) в уравнение (1.13), получим:

. (1.20)

Но по закону Фурье: .

Тогда:

. (1.21)

Так как коэффициент теплопроводности зависит от температуры, то дифференциальное уравнение теплопроводности в общем виде имеет выражение (1.21). Более простой вид уравнения получается после принятия упрощающих допущений. Наиболее часто применяют следующие допущения: 1) коэффициент теплопроводности не зависит от температуры; 2) плотность внутренних источников тепла равна 0, (q_в = 0):

, (1.22)

где – коэффициент температуропроводности данного вещества. Он характеризует тепловую инерцию материала. Чем выше а, тем быстрее материал прогревается.

Таким образом, в наиболее простом виде дифференциальное уравнение теплопроводности выглядит так:

, (1.23)

где Ѳ – оператор Лапласа.

Выражения (1.23) и (1.22) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

Аналитическое решение нелинейных дифференциальных уравнений достаточно сложно и они могут быть решены только в простейших случаях теплообмена. Намного легче решаются линейные дифференциальные уравнения т. к. они обладают важной особенностью известной из математики: сумма нескольких независимых друг от друга решений линейного дифференциального уравнения также является решением такого уравнения. Это свойство позволяет в случаях, когда на тело действует система из нескольких независимых источников описать их воздействие независимыми дифференциальными уравнениями, решить их, а затем общее решение представить в виде суммы частных (принцип суперпозиции решений).