Математическая модель. · Геометрические соотношения

· Геометрические соотношения

С учетом малости θ

, (1)

, (2)

 

, т.е. . (3)

 

· Физические зависимости

 

Принятые оси – главные, одно из главных напряжений - =0, записываем закон Гука в главных осях

.

Решим систему относительно напряжений:

и подставим (2), (3). Получаем

 

 

· Уравнения равновесия

Составим два уравнения равновесия (остальные тождественно удовлетворяются из-за симметрии задачи).

Сумма проекций всех сил на ось z

, откуда

. (6)

 

Сумма моментов всех сил относительно касательной к дуге радиуса r в срединной поверхности

откуда, пренебрегая величинами высшего порядка малости, получаем

. (7)

 

· Связь внутренних сил и напряжений

Интегрируя внутренние силы от напряжений и приравнивая их равнодействующим моментам, получаем

т.е.

 

(8)

 

. (9)

Получены девять уравнений, связывающие девять неизвестных параметров. Порядок системы дифференциальных уравнений – пятый. Однако после алгебраических преобразований его можно понизить до четвертого.

Интегрируя (8), (9) после подстановки в них (4), (5) получаем

 

Величина называется цилиндрической жесткостью и часто встречается в теории пластин и оболочек.

Сравнивая (4), (5) с (8а), (9а), получаем

Кроме того, из (8а), (9а), исключая , получаем

Подведем итоги.

Для описания задачи достаточно решить систему четырех линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:

(1*)

(2*) , (из (8а))

(3*) , (из (7), (9б))

(4*) , (из (6))

при соответствующих граничных условиях.

Примеры граничных условий приведены ниже.

 

 

 

 

 

 

 

 

и т.д.

 

Численное интегрирование системы не представляет проблем и аналогично рассмотренному выше для стержней.