Th 6. О дифференцируемости суммы функционального ряда.

Пусть все функции функциональной последовательности непрерывно-дифференцируемы на отрезке (т.е. имеют непрерывную производную), причем функциональный ряд составленный из производных равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма функционального ряда (3) дифференцируема на , причем выполняется:

. (19)

При этом говорят, что допустимо почленное дифференцирование функционального ряда.

Степенные ряды

Функциональный ряд вида

, (1)

где - фиксированные числа, а z – переменная называется степенным рядом с центром a и коэффициентами .

При , ряд (1) сходится к единице при любых . Поэтому область сходимости степенного ряда не является пустым множеством.

Линейной подстановкой ряд (1) приводится к ряду

, (2)

все свойства которого совпадают со свойствами ряда (1). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только степенные ряды с центром в точке 0.

Th 1. Теорема Абеля.

Пусть ряд (2) сходится в некоторой точке ,тогда ряд (2) сходится абсолютно в любой точке , удовлетворяющей условию .

□

По условию числовой ряд сходится, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости . Но тогда

, , .

Отсюда

, . А так как ряд - сходящаяся геометрическая прогрессия, то ряд сходится по первому признаку сравнения, т.е. сходится абсолютно ряд .

■