Th 6. О дифференцируемости суммы функционального ряда.
Пусть все функции
При этом говорят, что допустимо почленное дифференцирование функционального ряда. Степенные ряды Функциональный ряд вида
где При Линейной подстановкой
все свойства которого совпадают со свойствами ряда (1). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только степенные ряды с центром в точке 0. Th 1. Теорема Абеля. Пусть ряд (2) сходится в некоторой точке □ По условию числовой ряд
Отсюда
■
|
функциональной последовательности непрерывно-дифференцируемы на отрезке 
(т.е. имеют непрерывную производную), причем функциональный ряд составленный из производных 
равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма функционального ряда (3) 
дифференцируема на 
. (19)
, (1)
- фиксированные числа, а z – переменная называется степенным рядом с центром a и коэффициентами 
.
, ряд (1) сходится к единице при любых 
ряд (1) приводится к ряду
, (2)
,тогда ряд (2) сходится абсолютно в любой точке 
, удовлетворяющей условию 
.
сходится, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости 
. Но тогда
, 
, 
.
, 
. А так как ряд 
- сходящаяся геометрическая прогрессия, то ряд 
сходится по первому признаку сравнения, т.е. сходится абсолютно ряд 
.
