Основные свойства степенных рядов
Пусть дан степенной ряд (2) с радиусом сходимости R>0. Th 1. О равномерной сходимости степенного ряда Каково бы не было число □ Возьмем ■ Th 2. О непрерывности суммы степенного ряда Сумма ряда (2) на интервале □ Пусть ■ Из теорем о равномерной сходимости степенного ряда и теорем о почленном дифференцировании и интегрировании равномерно сходящихся функциональных рядов вытекают следующие теоремы. Th 3. О почленном интегрировании степенного ряда. Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать от 0 до любого Th 4. О почленном дифференцировании степенного ряда. Степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать на интервале
|
, то степенной ряд (2) равномерно сходится на любом отрезке 
.
. Так как 
принадлежит области сходимости ряда (2), то числовой ряд 
сходится, а он является мажорирующим рядом для степенного ряда (2) на отрезке 
при всех 
. Ряд (2) на отрезке 
является непрерывной функцией.
- произвольная точка. Пусть 
. На отрезке 
его сумма в силу теоремы о непрерывности суммы функционального ряда непрерывна на отрезке 
.
