Использование степенных рядов

Степенные ряды применяют при вычислении определенных интегралов. Для этого раскладывают подынтегральную функцию в степенной ряд и вычисляют полученный интеграл почленно.

I

.

В тех случаях, когда не удается решить дифференциальное уравнение, его можно решить с помощью рядов.

I Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами . Это уравнение не соответствует ни одному из трех типов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

Предположим, что функция , являющаяся решением уравнения, разложена в степенной ряд . Тогда , .

Подставим это разложение в дифференциальное уравнение .

Заменим в первой сумме , .

Это уравнение преобразуется в тождество, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x:

: , : , : ,

: ,... : .

Из последнего равенства следует: , и рекуррентное соотношение , которое позволяет выразить остальные коэффициенты через , , , :

, , ,

или

 

В результате точное общее решение уравнения имеет вид:

, или

Приближенное частное решение задачи Коши можно определять другим способом:

I , если , .

Воспользуемся разложением решения в ряд Маклорена .

Найдем производные, подставляя в исходное уравнение начальные условия и дифференцируя его.

, , , , ,

,...

Получим приближенное решение